394 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



une distance fixée une fois pour toutes , V énergie actuelle par la 

 moitié de la force vive , alors la somme de ces deux quantités , 

 Vénergie totale, est constante pour chaque trajectoire donnée. 



L'autre grandeur constante est le secteur décrit dans l'unité 

 de temps. On donne à cette grandeur , — par analogie avec 

 l'expression : vitesse angulaire , — le nom de vitesse aréolaire. 



Ces deux constantes et un point de la trajectoire déterminent , 

 lorsque la loi de la force est connue, la trajectoire et la vitesse 

 en chacun de ses points. En effet , au moyen de Vénergie totale 

 on peut calculer la grandeur de la vitesse au point donné , puis, 

 au moyen de la vitesse aréolaire , la direction de cette vitesse ; 

 de là on déduira la position du point suivant , et , en continuant 

 de la sorte , on arrivera à construire la trajectoire entière. 



Si l'on choisit ensuite un autre point de départ, sans rien 

 changer à Vénergie totale ni à la vitesse aréolaire , on retrouvera 

 une trajectoire de la même forme et parcourue avec la même 

 vitesse, pourvu que le rayon vecteur du point de départ soit 

 égal à celui d'un des points qui appartenaient à la première 

 trajectoire. Prend-on, au contraire, un point de départ dont le 

 rayon vecteur est plus grand que le maximum ou plus petit que 

 le minimum des rayons vecteurs offerts par la première trajectoire, 

 il pourra encore arriver qu'une trajectoire passe par ce point de 

 départ , mais cette trajectoire possédera alors une forme différente. 

 Avec une énergie totale et une vitesse aréolaire données , i^lusieurs 

 trajectoires , de forme différente , sont en général possibles , mais 

 deux de ces trajectoires ne peuvent jamais avoir un rayon vecteur 

 de même longueur, de sorte que la connaissance d'un des rayons vec- 

 teurs de la trajectoire détermine celle-ci sans la moindre ambiguïté. 



Il va sans dire qu'au point de vue purement mathématique 

 toutes ces trajectoires sont connexes et que toutes , si l'inté- 

 gration des équations du mouvement peut se faire, seront com- 

 prises dans la même équation analytique. Mais il est impossible 

 qu'une particule matérielle passe d'une de ces trajectoires à l'autre, 

 de sorte qu'au point de vue mécanique ce sont des trajectoires 

 différentes. 



