398 D, J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



On a en outre: 



B'^,= ),qJw-'=}F\q' . , (7) 



ce qui achève la démonstration du théorème. 



Corollaires, a. Dans une région de stabilité V énergie et la 

 vitesse aréolaire du mouvement circulaire croissent avec la dis- 

 tance, dans une région d'instabilité elles décroissent avec elle. 



h. Dans la région de la raison inverse du cube., V énergie et 

 la vitesse aréolaire du mouvement circulaire sont partout les mêmes. 



c. A la limite entre une région de stabilité et une région 

 d'' instabilité V énergie et la vitesse aréolaire du mouvement circu- 

 laire acquièrent des valeurs maximum ou minimum : des valeurs 

 maximum lorsque la région d'instabilité se trouve à l'extérieur, 

 des valeurs minimum lorsque c'est la région de stabilité qui 

 a cette situation. 



d. Uapocentre et le péricentre d^une même trajectoire ne peu- 

 vent jamais être situés dans une même région cVinstahilité. En 

 effet, si l'on désigne par le rayon vecteur de l'apocentre, 

 par (>, celui du péricentre, on a nécessairement it^^^ > v}.^àonG 

 ■^w^ -4 5 par contre -Aw^ donc -Aïo^ *^ -Aw^* Or cela 

 est évidemment en contradiction avec le théorème ci-dessus dé- 

 montré, car, puisque Qi'^q. , on devrait avoir, dans une ré- 

 gion d'instabilité: Aw^ <■ Atv^. 



e. De là il suit immédiatement que si le champ entier consiste 

 en une seule région dHnstabilité , comme c''est le cas , par exemple., 



pour toute loi de force F =z . ~- , oîi n^ 3 , une même trajec- 



qn 



toire 7ie peut jamais présenter à la fois un péricentre et un 

 apocentre. Dans un pareil champ , toutes les trajectoires doivent 

 donc conduire ou bien de l'infini à un péricentre (ou à une ter- 

 minaison en spirale à cercle asymptotique intérieur) , ou bien du 

 centre à un apocentre (ou à une terminaison en spirale à cercle 

 asymptotique extérieur) , ou enfin de l'infini au centre. 

 /. Du corollaire d on peut encore déduire qu'une trajectoire 



