400 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



Des maxima et des minima de ce produit ne se rencontrent , à 

 fart les apocentres et les péricentres , que dans les points où la 

 vitesse du mouvement est égale à la vitesse circulaire. 



Si un pareil point est situé dans une région de stabilité, 

 le produit est un maximum, si dans une région d'instabilité, 

 un minimum. 



Une région de répulsion peut être considérée , à cet égard ^ comme 

 une région où la vitesse du mouvement surpasse constammejit la 

 vitesse circidaire locale. 



Démonstration. Puisque A reste constant sur toute la trajec- 

 toire , on a : 



^ (4 AQ-~4.Q\^F.dQ--2Fi)-')dQ:=i4.Q{A--A,o) doz=2Q{i>''-w'')dQ ..(8) 



d'où résulte la première partie de la proposition. 



Ensuite, v'^o^, et par conséquent aussi o , ne pourra prendre 

 une valeur maximum ou minimum que: 



1°. là où dQ-=:0, c'est-à-dire, a,u péricentre et kVapocentre, 

 Dans chacun de ces deux points vq est minimum, ainsi qu'on 

 le reconnaît aisément en remarquant que dans un péricentre on 

 a nécessairement v'^ > iv'^^ de sorte qu'au voisinage immédiat 

 v' doit croître avec la distance; tandis qu'à Vapocentre on 

 a, au contraire, v^ <^tv'', d'où il suit qu'aux points à rayon 

 vecteur plus petit v"^ n'^ doit être plus grand que dans l'a^ocm^ré?. 



2°. là où îv :=z V. Lorsqu'un pareil point est situé dans une 

 région de stabilité, Aw croît avec o. En suivant la trajectoire 

 en direction centrifuge , on a donc A <■ Aw et , comme en outre 

 Q croît, v'^ q'^ décroît. En direction centripète, on a A> Aw-, 

 mais v'^ (}'' décroît aussi dans cette direction, parce que q j 

 décroît. On a donc affaire à un maximum. Si le point est situé , 

 au contraire, dans une région d'instabilité, on reconnaît, delà 

 même manière, que v'^ q'-^ est un minimum. 



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