402 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DIÊCRITES 



Si un pareil point est situé dans une région de stabilité, 



est un MINIMUM , si dans une région d'instabilité, un maximum. 

 Une région de répulsion peut de nouveau être considérée^ à 

 cet égard ^ comme une région où la vitesse du mouvement surpasse 

 constamment la vitesse circulaire locale. 



Démonstration. Puisque, sur une même trajectoire, J vn sin }iz=zB 

 est une constante, sinii, et par conséquent aussi doit croître 

 lorsque vq décroît, et inversement. De cette considération, com- 

 binée avec le théorème II, découlent toutes les propriétés de 

 l'angle u énoncées dans le théorème III. 



Corollaires, a. Dans toute région de stabilité il ne peut y 

 avoir qu'un seul minimum de ,u , dans toute région dHnstabilité^ 

 qu'un seul maximum. 



h. Si d\m même point on fait partir, avec la même vitesse^ 

 des trajectoires différentes , les points inclinaison maximum et 

 minimum' de toutes ces trajectoires se trouvent sur les mêmes cercles , 

 décrits autour du centre d'' attraction. 



En effet, la grandeur A ayant pour toutes ces trajectoires la 

 même valeur, les vitesses doivent être égales pour des rayons 

 vecteurs égaux, de sorte que le produit vq, et par conséquent 

 aussi l'angle ^ , doit , dans toutes ces trajectoires , atteindre les 

 mêmes valeurs maxima ou minima pour des valeurs égales du 

 rayon vecteur. 



c. En appliquant ce corollaire à Vattraction en raison inverse 

 du carré de la distance, on retrouve immédiatement quelques 

 beaux théorèmes très connus. Dans les trajectoires elliptiques 

 décrites en vertu de cette loi, ,a acquiert, en effet, ses valeurs 

 minima aux extrémités du petit axe; de là résulte, en premier 

 lieu, que: 



Les extrémités des petits axes des trajectoires elliptiques qui 

 partent d''un même point avec la même vitesse, sont toutes situées 

 sur un même cercle, décrit autour du centre d'attraction. 



Remarquant, en outre, que la distance du foyer aux extrémités 

 du petit axe est égale au grand axe, on voit immédiatement que: 



Toutes ces ellipses possèdent des grands axes égaux, et par 



