404 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



Démonstration. Après la perturbation, la trajectoire circulaire 

 dont l'énergie totale est égale à celle de la nouvelle trajectoire 

 devra, en général, se trouver un peu plus loin ou plus près du 

 centre que l'ancienne trajectoire circulaire, mais ne s'éloigner 

 pourtant de celle-ci qu'à une faible distance. Dans une région 

 de stabilité, cette trajectoire circulaire de même énergie que la 

 nouvelle trajectoire sera toujours coupée par celle-ci , car , si l'on 

 suit la trajectoire dans la direction qui conduit à la trajectoire 

 circulaire, l'angle aigu est décroissant, ainsi qu'on le reconnaît 

 immédiatement en appliquant le premier alinéa du théorème III 

 et en ayant égard à la propriété de la région de stabilité, que 

 Apj y croît et décroît avec q. Or, tant que ^ décroît, la trajec- 

 toire continue certainement à s'éloigner ou à se rapprocher du 

 centre, de sorte que, comme il a été dit, le cercle de même 

 énergie doit toujours être atteint. Sur ce cercle , fi a une valeur 

 minimum , q v une valeur maximum. Si l'on considère maintenant 

 les deux branches qui partent de ce point d'intersection , on 

 trouve que sur toutes les deux qv décroîtra, ^ croîtra. Dans la 

 branche centrifuge, en effet, l'énergie circulaire locale dépasse 

 de plus en plus celle de la trajectoire, et q v doit donc diminuer 

 lorsque q augmente; dans la branche centripète, au contraire, 

 l'énergie circulaire locale est plus petite que celle de la trajectoire, 

 et par conséquent, sur cette branche aussi, qv doit décroître, 

 puisque q est décroissant. Ce décroissement de q v devient de 

 plus en plus rapide à mesure que le point s'éloigne davan- 

 tage de la trajectoire circulaire de même énergie. Or, dès le 

 début, à cause de la faiblesse supposée de la perturbation, 

 ^ ne diffère que peu de 90°, et on voit donc que le décroisse- 



ment de ^ ne tardera pas à rendre sin fA, = égal à l'unité, 



moment où sera atteint un péricentre ou un apocentre. La branche 

 centrifuge devra donc conduire à un apocentre, et la branche 

 centripète à un péricentre , sans que le rayon vecteur ait beaucoup 

 augmenté ou diminué. 



Si la trajectoire circulaire troublée est située au contraire dans une 



