406 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



Démonstration. A mesure qu'une trajectoire terminée en spirale 

 se rapproche de son cercle asymptotique intérieur ou extérieur, 

 son rayon vecteur q approche de plus en plus du rayon (>, du 

 cercle asymptotique. Comme, en outre, toute la forme de la 

 trajectoire, et par conséquent aussi son rayon de courbure, 

 s'ajuste de plus en plus à celle du cercle asymptotique , v 

 devra approcher de , }i de 90°. Toute fonction /{q^v, ^i) 

 devra donc avoir pour limite /(^^, w^^ 90°). Cela s'applique 

 aussi à l'énergie totale et à la vitesse aréolaire de la trajectoire , 

 mais, puisque ces quantités sont constantes, elles doivent pos- 

 séder cette valeur limite dès le début. On devra donc avoir, 

 tout le long de la trajectoire : 



A = \ v'' -hj" F. do = l iv\ -h F. dQ = An,^.. (19) 



B z:^ \ () ^ sin V :=z ^ 0 ^ w ^. Bw , (11) 



De cette dernière équation on tire : 



sin^z=^-±!îl ; (12) 



Q V 



or, de là résulte immédiatement, eu égard au théorème II, que 

 de pareilles terminaisons en Spirale sont impossibles dans une 

 région de stabilité. Considérons d'abord, en effet, une termi- 

 naison spirale à cercle asymptotique extérieur. Ici, ^4 Aip^ devra 

 partout surpasser l'énergie locale du mouvement circulaire, puis- 

 que l'énergie circulaire croît avec le rayon et devra donc, à 

 l'intérieur du cercle asymptotique , être partout moindre que sur 

 ce cercle même. Mais alors, en vertu du premier alinéa du 

 théorème 11^ o v doit croître avec q , et l'on devrait donc avoir 

 partout Q "0 ^ Q ^iv ^ ^ ce qui ferait de l'équation (12) une absurdité. 



De la même manière on peut établir que les terminaisons 

 spirales à cercle asymptotique intérieur sont impossibles. Ici A 

 devrait être constamment plus petit que l'énergie locale du mou- 

 vement circulaire ; à mesure que q décroît , (j v devrait donc croître ; 

 d'où résulterait de nouveau ot7>(>,w'j. 



