408 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



Démonstration. Soit (», le rayon du cercle qui doit devenir le 

 cercle asymptotique extérieur ou intérieur de la spirale qu'on 

 veut mener par un point P, situé dans la même région d'in- 

 stabilité, à une distance Q2 du centre. On a alors pour calculer 

 et |ti2 , c'est-à-dire la grandeur et la direction de la vitesse 

 nécessaire en P : 



A = ^v\ + J'^ FdQ-zzi iv\ -^-h FdQ=: Ay,^ . . (13) 



B = ^V2 sin = ^w^ ■=: Bw, (14) 



Au premier abord, il semblerait peut-être que pût devenir 

 imaginaire, ou sin plus grand que l'unité. 



Pour montrer que est toujours réel, nous tirons de (13): 



v\z=iw''^ FdQ (15) 



De là il résulte immédiatement que, pour <.Qit on aura 

 nécessairement v\'> w"^^, et par conséquent réel. Si, au con- 

 traire , ^ 2 > ^ 1 î on a : 



A Aw^ ^ Aw^ ) 



donc : 



v\ >w\, 



et alors également réel. 



Pour prouver qu'on ^w^ < î;^ Qt^^ par conséquent sin ^ <1, 

 faisons partir du point P , avec la vitesse , une trajectoire 

 radiale dirigée vers le cercle asymptotique. Il est facile de voir 

 que cette trajectoire doit toujours atteindre ce cercle. Au point 

 de rencontre on a vz=: ^ mais en outre , d'après le Théorème 

 II, VQ y est un minimum. Partout ailleurs , par conséquent aussi 

 en P , on a donc vq'> w^q^. 



Ainsi se trouve démontré que , par chaque point de la région 

 d'instabilité , on peut mener une trajectoire qui possède la même 

 vitesse aréolaire et la même énergie qu'une trajectoire circulaire 



