414 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



Soit, en effet, le rayon du cercle asymptotique ; on a alors : 

 donc : 



Um. v = v^ = ^2 j 



et puisque les terminaisons en spirale à cercle asymptotique ne 

 peuvent se' produire que dans une région d'instabilité , la tra- 

 jectoire radiale présente en ce point , d'après le théorème II , un 

 minimum de v q. 



IV. Théorèmes concernant l'extension 



DE LA TRAJECTOIRE JUSQU'AU CENTRE ET JUSQU'à l'iNFINI. 



13. Théorème YIII. Lorsque d'un point quelconque P partent 

 deux trajectoires centripètes à vitesses initiales égales, la distance 

 péricentrique qui appartient à la trajectoire la plus inclinée doit 

 être plus petite {à moins que les trajectoires ne conduisent toutes 

 les deux au centre) que celle de la trajectoire moins inclinée. 



Si d^un pareil point partent, au contraire^ deux trajectoires 

 centrifuges de même vitesse initiale , mais de direction différente , la 

 distance apocentrique de la trajectoire la plus inclinée devra être 

 plus grande que celle de la trajectoire moins inclinée , à moins que 

 toutes les deux ne conduisent à V infini. 



Démonstration. Si l'on compare entre eux ceux des points des 

 deux trajectoires centripètes dont les rayons vecteurs sont égaux , 

 les vitesses en ces points sont pareillement égales. Or le produit 

 V Q sin fA, est , pour la trajectoire plus inclinée , constamment plus 

 petit que pour la trajectoire moins inclinée, et par conséquent 

 sin y, doit , dans la trajectoire la plus inclinée , être plus petit que 

 dans l'autre. Si maintenant la trajectoire moins inclinée conduit à un 

 péricentre ou à une spirale à cercle asymptotique , on a en ces 

 points sin fA, = l , et pour la trajectoire plus inclinée sin }i est 

 donc encore < 1 , de sorte que cette trajectoire continue en 

 direction centripète et donne lieu à des valeurs plus petites du 

 rayon vecteur. 



