424 D. J. KORTEWEG. SÏÏR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



La détermination de lim Aw pour q =z co n'offre , lorsque la 

 dernière région est une région d'instabilité , aucune difficulté spéci- 

 ale, car si lim Fq^ est finie ou nulle, i^^ est certainement 

 nulle , et par conséquent : 



lim Atoiç = oo)= jFdQ (48) 



Pour ^ = 0. au contraire, et dans une région d'instabilité, 

 lim Aw prend en général une forme indéterminée , et alors les 

 remarques suivantes peuvent contribuer beaucoup à abréger les 

 recherches : 



1°. Si lim Fq^ est infinie^ lim Aw est également infinie. On 

 a, en efPet, d'après (6): 



dAw_ 1 dFQ^ 



dg 2q'^ dQ ' 



En considérant l'accroissement que Aw et Fq^ éprouvent quand 

 on se rapproche du centre depuis la distance jusqu'à une 

 distance plus petite ^2 ? ^ donc: 



AAw> ^,^Fq^ , (49) 



d'où il suit immédiatement que lorsque Fq^ devient infini, il 

 doit en être de même de Aw. 



2°. Même si F tend vers une limite fi me , Jxw deviendra 



infiniment grand, a moins que tim ^ ^ et km y ^ l J 



deviennent toutes les deux nulles. 



Lorsque lim Fq ^ est finie , on peut poser : 



^ V ;o-rv(^ J 2V dQ^ f , 1.2.3\ dq f ^ ^ ' 



Mais alors on a : 



