426 D. J. KORTEWEG, SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



quelconque , l'angle de départ se trouve entre les angles de départ 

 de deux trajectoires terminées en spirale à cercle asymptotique , 

 la trajectoire en question doit posséder un apocentre ou un péri- 

 centre. Si les trajectoires terminées en spirale sont toutes les deux 

 centripètes ou toutes les deux centrifuges , on pourra encore 

 resserrer la partie du champ dans laquelle peut se trouver le 

 péricentre ou l'apocentre, en remarquant qu'il ne saurait être 

 situé dans la région d'instabilité appartenant à la moins inclinée 

 des deux trajectoires terminées en spirale. 



Il résulte de là que, lorsque la vitesse change graduellement 

 de direction, il s'opère, au passage d'une des directions qui 

 donnent lieu à des trajectoires terminées en spirale, un saut 

 brusque dans la distance de l'apocentre, saut dont l'explication, 

 au point de vue purement mathématique , a été donnée au § 4. 



Si l'on veut trouver, pour une trajectoire donnée, le rayon 

 vecteur du péricentre ou de l'apocentre , il suffit de remarquer 

 que ce rayon vecteur est égal à celui du point de la trajectoire 

 radiale dans lequel se réalise pour la première fois — depuis le 

 point de départ — la relation 



V Q z=z sin fi^ ( ^ ) (52) 



1) De cette relation il résulte: 



J Q, 



C'est réquation en qui sert à déterminer les distances des sommets 

 d'une trajectoire centrale au centre. Naturellement, la solution du 

 problème qui nous occupe se laisserait aussi déduire, par voie purement 

 algébrique, de cette équation. 



Des trajectoires à apocentre et péricentre prennent naissance lorsque cette 

 équation a deux racines, entre lesquelles se trouve q^. S'il n'y a pas de 

 racine entre et oo , ni entre Qi et zéro ^ la trajectoire conduit à l'infini 

 ou au centre. 



Des cas intermédiaires se présentent lorsqu'une des racines, entre les- 

 quelles est situé ^1, se confond avec une autre racine. Cela ne peut arriver 

 que pour des valeurs de ces racines qui satisfont a l'équation dérivée ; 



