432 D. J. KORTEWEG. SUR LES TRAJECTOIRES DÉCRITES 



î;, < ^^;J = ^+1 mais > ^ ^i^^ et en outre 



— n — 1 



/^i <|tt'. Elle peut, toutefois, apparaître aussi lorsque ^;J^ = 



Dans ce cas, la trajectoire , en direction centrifuge , 

 possède toujours une branche infinie, conformément au Théorème J, 

 Corollaire g. Lorsque?;, zzzw^ =\//^, la branche centri- 

 pète conduit, en vertu du Théorème J, Corollaire h, au 

 centre, et il se forme donc une trajectoire de la troisième 

 espèce. Lorsque «^,> w ^-nz^/f q ^ , on peut de nouveau assigner 

 un angle limite pour lequel vaut la formule développée ci- 

 dessus , et tel que la trajectoire partant sous cet angle se termine 

 en spirale à cercle asymptotique intérieur. Toute trajectoire moins 

 inclinée possède alors un péricentre, toute trajectoire plus inclinée 

 conduit au centre et est donc de la troisième espèce. 



La quatrième espèce possède une branche infime et se termine 

 en spirale à cercle asymptotique intérieur. Elle se produit lorsqu'on 

 a v^-^ w^z=z\/ f ^+1 et , en outre , ^ , = 



La cinquième espèce possède un péricentre et deux branches 

 infinies. Elle se forme lorsque: 'î^i>^j=\//'^j^"'~-'- et, en 

 outre, ^^ 



IIL 23. Déterminer la nature et les limites des régions qui se 

 forment dans le plan d^un anneau homogène de matière , qui attire 

 suivant la loi de la gravitation universelle. 



Il m'a paru utile de traiter ce problème , afin de faire voir que 

 la gravitation universelle peut donner lieu à la production de 

 régions d'instabilité. 



Il va sans dire que l'attraction qui émane d'un pareil anneau 

 peut être conçue comme une force centrale, ayant pour centre 

 le centre de l'anneau. Désignons par M la masse de l'anneau 

 et par R son rayon, prenons pour unité de force la constante 

 de la gravitation universelle, et introduisons les intégrales 

 elliptiques complètes : 



oy[d)=\ =; / ' dcf.^yl —sin^6sin''q>. 



0 \/l — sin^dsin^cp q 



