M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 437 



En effet les équations (3) et (4) donnent: 



(5) ^ (^)] = ^ » 



0 



(6) j x'^^F {x) — G (x)J dx = 0, 



0 



d'où il est évident que F{x) — G {x) doit changer de signe au 

 moins une fois. 



Mais supposons que F (x) — G (x) change seulement une fois 

 de signe, et que par conséquent F {x) — G (x) ait un signe 

 déterminé pour les valeurs 



0 <■ X <^ b 



et de même un signe déterminé, mais contraire au précédent, 

 pour les valeurs 



ô < a; < 1, 



b étant comprise entre zéro et l'unité. 

 Posons : 



F{x)~ G{x) = q){x) 0<x<:b 

 G{x) — F{x) = 'ip{x) b<.x<\, 



alors (p {x) et ^ {x) ne changent pas de signe et ont même signe. 

 Or on devra avoir d'après (5) et (6) : 



j cp (x) dx=j x^ ^ (x) dx , 



x^ cp (v) dx=j x^ \p [x) dx. 



0 



d'où l'on tire: 



{pi —x^)cp{x)dx=j'x'' {b^ —x^)ip{x)dx, 



0 b 



équation absurde parce que les deux membres sont évidemment 

 de signe contraire. 



