438 M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 



La proposition que nous venons de démontrer sera d'un usage 

 continuel et l'on verra qu'à peu près tout ce qui suit en dépend. 



Première partie. 

 Discusion de l'hypothèse I. 



2. Nous allons donc supposer maintenant que f{x) est une 

 fonction décroissante. 



Il convient d'observer d'abord que cela entraîne nécessaire- 

 ment entre nos données B, d l'inégalité : 



(7) , 3^> 5 jB> 6^. 



L'inégalité h B'> d résulte immédiatement de la signification de ces 

 quantités , et l'on démontre encore facilement, de diverses manières, 

 que 3 > 5 5. Mais , pour faire connaître dès à présent la nature 

 de la méthode dont je ferai un usage continuel dans la suite , 

 je tirerai ici cette inégalité de la proposition du N°. 1. 



J'observe pour cela qu'on peut déterminer les constantes ^ 

 de l'expression F [x) — p — de manière qu'elle satisfasse aux 

 équations (3). On trouve ainsi: 



F(x)=^S0A-ibB—12iSA — bB)x, 



et comme la densité /(x) satisfait aux équations (I) et (2), la 

 différence F {x) — / (x) doit changer au moins deux fois de signe 

 d'après notre proposition. Or cela serait manifestement impossible 

 si l'on avait S A^b B, parce qu'alors F (x) serait croissant ou 

 du moins non décroissant et ainsi (a;) — /(a;) varierait toujours 

 dans le même sens. On doit donc avoir 3 ^ > 6 B. 



A la rigueur on pourrait avoir 3 A = 6 B , mais alors / (x) 

 serait nécessairement constant et 5 B = d. Nous ferons abstrac- 

 tion de ce cas , parce que pour la terre les inégalités (7) ont lieu 

 effectivement. 



3. Limite inférieure m de la densité au centre. 



Tâchons de déterminer une loi de densité de la manière 

 suivante : 



