M. T. J. STIELTJES, QUELQUES REMARQUES ETC. 439 



f [x) — m de a; = 0 jusqu'à x = a 

 f{x) = d diQ x = a jusqu'à x = l. 

 Les inconnues m et a doivent être trouvées par les conditions 

 (1) et (2); — on obtient après une légère réduction: 



3A—d = {m — d)a^ 

 5 J5 — d = (m — d) , 



d'où 

 (8) . 



(9) m 



d) 



(5 B —~d) 



Comme on le voit par les inégalités (7), la valeur de a est in- 

 férieure à l'unité; quant hm = d ^ ^ ? à cause de a < 1 



il vient m> SA, c'est-à-dire m est supérieur à la densité 

 moyenne de la terre , — ce qui est évident à priori. 



En prenant (fig. 1) un système d'axes rectangulaires OX, 

 0 F, OA = l,OD = m, AB = d, OF=a, cette loi de den- 

 sité est représentée par les deux droites DE, CE. Or il est 

 évident maintenant que m est la densité minima au centre, 

 c'est-à-dire qu'il n'y a aucune loi de densité qui donne pour x=0 

 une densité inférieure à m. En effet, désignons par/ (a) la loi de 

 densité représentée par DE, CE, et par /\ (^) une autre loi de 

 densité , qui donnerait au centre une densité inférieure à m ; on 

 voit aussitôt que /{x) — /j (x) ne pourrait présenter qu'un seul 

 changement de signe, ce qui est impossible d'après la propo- 

 sition du 1. 



4. Dans la suite , la limite inférieure de la densité pour x = h 

 sera désignée par t (b) et la limite supérieure de cette même 

 densité par T {b). Le résultat que nous venons d'obtenir s'exprime 

 donc ainsi : t{0) = m, tandis qu'on a évidemment ^ (1) — d , 

 T{l) = d. 



Archives Néerlandaises, T. XIX. 29 



