442 M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 



(10) 



^B — (l—b')d 



C'est une simple limitation de T (6) , qu'on pourrait facilement 

 vérifier dans l'intervalle o < ô_< a où nous connaissons déjà la 

 valeur exacte de T (b). On voit aussi que pour bz=za ï\ faut 

 mettre le signe = dans la relation (10). 



Mais je dis maintenant qu'on a pour toute valeur de b comprise 

 entre a et 1 : 



Pour le démontrer en toute rigueur , il faudrait faire voir que, 



différant aussi peu qu'on le veut, il existe toujours une loi de 

 densité telle que /{b)z=R. Mais il me semble que l'indication 

 suivante suffit. 



T(b) = 



R étant une quantité inférieure à 



5 5__(1 _Ô5)^ 



mais en 



Soit 



(jp {x) = 



^B — (l'-b')d 

 b 



(jp {x) = d 

 on vérifie sans peine que 



b^x^ 1 , 



0 



En désignant par A' la valeur 



de l'intégrale i ' ir^ (jp [x) dx^ 



on 



0 



trouve: 



^B — d-hb^d 



Considérée comme fonction de b ^ A' est décroissante , et pour 

 bz=:a^ A' — Aj donc, dans la supposition a<b<lj A' est 

 inférieure à A. 



