444 M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 



(12).... ;r(,)^ 5^-(i-6s)<^ ^^^^^ 



^5 



hsL fonction T (h) présente une discontinuité; en effet, 6 étant 

 infiniment petit , on a : 



T(l — é) = 5^> d 



DEUXIÈME PARTIE. 



Discussion de l'hypothèse IL 



6. Dans ce qui suit , nous admettrons : 



P que la fonction /{x) ne croît jamais avec x. 



2^ que la fonction ^.U^ ne croît jamais avec x, 



dx 



Quant à cette seconde condition, elle semble exiger l'existence 

 d f ^x) 



de la fonction dérivée ; pour cette raison , il vaut mieux 



dz 



l'énoncer un peu autrement, en disant que, sous la condition 



o <: a? < ^ < g j< 1 , 

 on doit avoir toujours: 



(13) f{^)-f{y) ^ f{y)-fi^) 



y—^ ^ ^—y 



î^otons une différence profonde qui existe entre notre hypothèse 

 actuelle et celle que nous venons de discuter. Dans la première hy- 

 pothèse, la fonction /' [x) peut avoir un saut brusque pour une valeur 

 quelconque de a; ; on voit facilement que cela n'est plus possible 

 maintenantjà ca use de la condition ( 1 3),que pour la seule valeur x=l. 



Voyons d'abord quelles relations l'hypothèse actuelle entraîne 

 entre les données A, 5, d. 



