M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 



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Naturellement, on a comme auparavant, 3 A> b B> d, mais 

 il existe encore une autre relation , propre à notre hypothèse. 

 Pour la trouver , considérons la fonction F (x) , qui s'est présentée 

 déjà dans le N°. 2: 



et qui vérifie les relations: 



I' F(x) dx = A, j' F{x) dx = B. 



0 0 



Cette fonction F{x) décroît de M rz: i^(o) = 30 ^ — 45 1? jus- 

 qu'à D=:F(l)=lb B — 6A, 



Je dis maintenant que la valeur d=/{l) doit être inférieure 

 à D = 15 B — Q A. C'est ce qu'on voit facilement en jetant le 

 regard sur la fig. 2 , où la fonction F (x) est représentée par la 

 droite FE^ et en se rappelant que la différence F(x) — f {x) doit 

 changer au moins deux fois de signe d'après la proposition du 

 1. Cela se fonde sur la notion qu'on a d'une courbe qui 

 tourne sa concavité vers 0 A , car c'est par une telle courbe qu'est 

 représentée la fonction /(ic) d'après notre hypothèse. Mais voici 

 une démonstration arithmétique. *Supposons d'> D , alors F [x) 

 — f {x) est négative pour x=^\^ et comme cette différence doit 

 changer au moins deux fois de signe, il doit exister un nombre 



< 1 tel que F [a) — f {ci) ^0, et un nombre h <- a toi que 

 F {h) —f[b) <0, donc: 



F{\) < ^(1), 



F{a) > f{a), 

 F (h) <f(b), 



d'où l'on tire: 



Fia)-F(l) ^ fia) -/(l) ^ F (b) - F (a) ^/{ b)~/(a) _ 

 1 — a 1 — a a — b b — a ' 



. , , F{a) — F{l) F{b) — F{a) . 



mais évidemment — — ^ = — — —- , donc : 



1 — a a — b 



