M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 



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Courbe enveloppe du premier système de droites. 

 L'équation d'une droite du premier système a déjà été donnée, 

 voyez form. (19). Pour avoir l'enveloppe, il faut prendre la 

 dérivée par rapport à 6 et éliminer ensuite ce paramètre entre 

 l'équation obtenue et l'équation primitive. On obtiendrait ainsi 

 l'équation de la courbe enveloppe , mais cela serait de peu 

 d'importance pour notre objet, et il est bien plus naturel 

 d'exprimer seulement les coordonnées x de la courbe par le 

 paramètre h , dont on connaît la signification. Les équations étant 

 linéaires en a? et ^/ , ce calcul n'a aucune difficulté et l'on obtient : 



10 + 62 , ^4 



(22) 



12 



5^ -3 62 A 



o.< b < a 



1 --62 



Il est remarquable que l'expression de x ne contient ni A, 

 ni B. On obtient les extrémités P, Ç de l'arc courbe, situées 

 sur les droites FE, D B^en posant l) = o et b = a. L'abscisse 



du point P est donc | , celle de Q est = "^^ ^ ^ et par 



1 2 



conséquent inférieure à l'unité. 



Courbe enveloppe du second système de droites. On peut suivre 

 la même voie pour obtenir cette seconde courbe, en partant de 

 l'équation (21). On obtient par un calcul un peu laborieux, mais 

 qui ne présente pas de difficulté: 



( (1+6)2 (4 + 262).r = 36 + 662 +46^ +26% 

 (23). . 6^ 1 



(6''^(l+6)2(4+262)^=12(l+26+362+463 + 56^)A~ 



— 30 (1 + 2 6 + 3 62)5 

 + 2 (1 + 6) (1 - 6)2 (1 + 3 6 + 7 62 + 3 6^ + 6^) 



Ici encore l'expression de x ne contient point les données 

 A, B, d. 



On obtient les extrémités R ^ S àe l'arc courbe, situées sur 

 les droites CD, FE.en posant b = a et 6r:r]. L'abscisse du 

 point B est positive, celle de S est |. 



D'après cela, la limite inférieure delà partie du plan occupée 



