452 M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 



par les droites du premier et second système se compose des 

 5 parties suivantes: 



1° la droite horizontale Ci?, 



2° l'arc courbe RS, 



3° la droite inclinée S P , 



4° l'arc courbe P 



5° la droite inclinée Q B. 



Nous allons faire voir maintenant que cette ligne C R S P Q B 

 est réellement la représentation géométrique de la fonction 

 cherchée t{b). Supposons qu'on trace la ligne y=.f{x) et 

 nommons cette ligne une courbe de densité. Alors nous devons 

 montrer qu'aucune courbe de densité n'est possible qui pénètre 

 dans la partie du plan au-dessous de C R S P Q B, 



11. Voici d'abord quelques observations préliminaires: 



(A) Une courbe de densité (qui commence toujours en 



ne peut avoir en B une inclinaison plus faible sur l'axe 0 A 

 que la ligne B D. Cela est évident parce qu'elle doit couper en 

 deux points la ligne brisée C D B ^ d'après la proposition du 1. 



(B) Toute courbe de densité doit couper en deux points la 

 droite E F. 



En suivant une courbe de densité de B vers l'axe 0 F, 

 l'inclinaison de la tangente sur 0 A va toujours en diminuant, 

 d'après notre hypothèse. Il est évident par là que l'inclinaison 

 de cette tangente surpasse celle de E F pour la partie de la 

 courbe entre B et la première intersection avec E F^ tandis 

 que l'inclinaison de la tangente est plus faible que celle de E F 

 pour la partie de la courbe entre le second point d'intersection 

 avec EF et l'axe 0 7. 



Supposons maintenant qu'il existe une courbe de densité dont 

 un point A est situé au-dessous de la courbe C R S P Q B, 



Je distingue deux cas : 



1°. Le point A se trouve entre B et la première intersection 

 de la courbe avec E F. (fig. 3.) 



