M. T. J. STIELTJES. QUELQUES REMARQUES ETC. 453 



Alors la tangente en A doit couper la ligne dans un point 

 T au-dessous de E parce que l'inclinaison de la tangente est plus 

 forte que celle de E F. Mais ce point T doit se trouver au-dessus 

 de B et ne peut se confondre avec B , car dans ce dernier cas 

 la courbe de densité entre A et ^ devrait se confondre avec sa 

 tangente A B ^ ce qui est impossible d'après (A). 



Maintenant par le point T passe une droite du premier sys- 

 tème TS, qu'on peut compléter par une droite horizontale 5" £/ 

 de manière à obtenir une ligne brisée T S représentation d'une 

 fonction F (x) qui satisfait aux conditions (3) 



Or la courbe de densité se trouve située entièrement en dessous 

 de sa tangente TA, par conséquent elle ne peut couper la 

 droite T S. Quant à la droite horizontale S elle ne peut la 

 couper qu'en un seul point. Mais , d'après la proposition du N°. 1 , 

 chaque courbe de densité doit avoir au moins deux intersections 

 avec T S U, par conséquent il ne peut exister une courbe de 

 densité avec le point A au-dessous de C R S P Q B, 



2°. Le point A se trouve entre la seconde intersection de la 

 courbe de densité avec ^/ et l'axe 0 Y {ûg. 4), Alors la tangente 

 en A doit couper 0 F en un point T au-dessous de F, parce que 

 l'inclinaison de cette tangente sur 0 X est plus faible que celle 

 de E F. Le point T se trouve naturellement au-dessus de (7, 

 parce que la courbe elle-même vient rencontrer l'axe * 0 Y au- 

 dessus ce C. 



Maintenant il passe par T une droite T S du second système , 

 et joignant S et B par une droite , on peut regarder T S B comme 

 une courbe de densité. Mais évidemment la courbe de densité 

 passant par A ne peut couper la droite T S, et l'on se trouve 

 de nouveau en contradiction avec la proposition du N°. 1. 



En somme il ne peut exister aucune courbe de densité qui 

 pénètre dans la partie du plan au-dessous de C B S P Q B et 

 cette courbe est donc bien, comme nous l'avons annoncé, la 

 représentation géométrique de la fonction t (b). 



i) La droite TS doit avoir naturellement une inclinaison sur OX plus 

 forte que celle de 7"^, parce qu'on suppose que A se trouve dans la partie 

 du plan au-dessous de la courbe limite des droites du premier système. 



