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Matematica.  —  Formale  relative  al  moto  d'un  punto.  Nota 
di  E.  Cesàro,  presentata  dal  Socio  Cremona. 
«  Due  formole  (')  del  prof.  Siacci,  relative  al  moto  d'un  punto  in  un 
piano  0  nello  spazio,  furono  dimostrate  dal  prof.  Cerruti  mercè  la  teoria  dei 
complessi  (^).  Ora  noi  vogliamo  estendere  le  formole  stesse  al  caso  d'una  tra- 
jettoria  n  —  1  volte  curva,  mostrando  che  esse  restano  indipendenti  dalle  cur- 
vature esterne  al  nostro  spazio.  Un  punto  0  ,  fìsso  nello  spazio  ad  n  dimen- 
sioni, in  cui  si  muove  M ,  si  projetti  in  0'  sul  piano  che  oscula,  in  M ,  la 
trajettoria  (M) ,  e  siano  rispettivamente  R ,  1\  le  componenti  dell'accelera- 
zione secondo  O'M  e  la  tangente  ad  (M) ,  in  M  .  Siano  r  ,  /  ,jt) ,  le  distanze 
di  0'  ad  M ,  alla  normale  principale,  alla  tangente.  Poiché  le  componenti 
veli) 
dell'accelerazione  secondo  queste  ultime  rette  sono  —  ,  —r-  ,  si  vede  subito  che 
Q  cls 
^       r    ^   vdv      l  V- 
p       Q     ^  ds  p  Q 
Ponendo  pv  uguale  ad  una  funzione  arbitraria  T ,  la  prima  formola  diventa 
R  =  ^-  — ■ 
Q 
Per  trasformare  la  seconda  ricordiamo  anzitutto  che,  in  virtù  delle  formole 
fondamentali  della  Geometria  intrinseca  delle  curve,  da  noi  recentemente  sta- 
bilite (^),  si  ha,  per  l' immobilità  di  0  , 
^+-+^  =  0, 
US     '      Q  ' 
essendo  q  la  projezione  di  OM  sulla  binormale  principale,  e  Qi  il  raggio  di 
torsione.  Dunque 
y  _  vdv  .  /  dp   ,   '1  \    v_  d  ipo)  .  ^ 
ds       \  ds  ~^  Qi  }  p  p      ds     '  p  Qi 
ovvero 
P^       ds  p^  Qi 
È  questa  la  seconda  formola  cercata.  Si  osservi  che  occorrono  n  relazioni  per 
fissare  0  nello  spazio,  e  quella  da  noi  adoperata  basta  soltanto  ad  esprimere 
che  0  non  può  spostarsi  parallelamente  alla  normale  principale  di  (M)  .  Ne 
segue  che  0  può,  ad  ogni  istante,  arbitrariamente  muoversi  in  un  determinato 
spazio  ad  w  —  1  dimensioni,  senza  che  ne  soffra  l'esattezza  delle  due  formole 
(1)  Atti  deirAccademia  delle  Scienze  di  Torino,  t.  XIV 
(2)  Accademia  dei  Lincei,  Transunti,  1879. 
(3)  Annali  di  Matematica,  1888. 
