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^  =  ^0  5  si  ha  P  (^0 ,  =  1  ,  se  a  =  f  {xq)  ,  e  P  (xo ,  a)  =  0  per  ogni 
altro  calore  di  « .  In  generale  si  converrà  di  considerare  come  medio  limite 
di  /  (x) ,  in  X ,  la  somma 
X  =  S  aV  (x  ,  a)  , 
estesa  a  tutti  i  valori  di  a  .  Riprendendo  la  funzione  /  (x)  =  —  —  |  ""T  | 
è  facile  vedere  che  Pj  ha,  per  x  =  0  ,  un  valore  indipendente  da  a ,  se 
0  =  <C  1  ^  ed  il  valore  zero  se  a  è  negativo  o  non  inferiore  all'unità.  Il 
medio  limite  di  /  (x) ,  quando  x  tende  a  zero,  è  dunque  4  ,  giacché  tutti 
1  valori  dell'  intervallo  (0  ,  i  )  sono  egualmente  probabili.  Si  consideri  ancora 
la  funzione  j^~r^  —  ^  C^'^  '  ^^^PP^'^®^^*^^^  nulla  o  uguale  all'unità  per 
x  =  0  .  L' iutomo  di  zero  è  costituito  da  infiniti  tratti  di  continuità,  nei  quali 
si  alternano  i  valori  0  ed  1  ,  egualmente  probabili,  cosicché  P  (0  ,  ==  ^ , 
quando  a  è  zero  o  1 ,  e  P  (0  ,  «)  =  0  in  ogni  altro  caso.  Il  medio  limite 
della  fimzione,  per  x  =  0  ,  è  dunque  i .  Si  osservi  che  la  discontinuità  della 
funzione  considerata  è  di  grado  y-  Similmente  la  funzione  ^~r^  —  ' 
supposta  indifferentemente  uguale  a  0,1,2,  per  =  0 ,  ha  per  questo 
valore  una  discontinuità  di  grado  j ,  ed  il  suo  medio  limite  é  1 .  Importa 
osservare  che  le  precedenti  considerazioni  permettono  di  supplire  alla  mancanza 
di  derivata  mediante  il  calcolo  del  medio  limite  di  ciascun  rapporto  incremen- 
tale, quando  l' incremento  della  variabile  tende  a  zero.  E  questo  un  argomento 
sul  quale  ritorneremo,  per  occuparci  altresì  dell'  integrazione  fondata  su  cri- 
terii  di  probabilità. 
<i  Non  é  probabile  che  la  nozione  del  medio  limite  sia  per  rendere  qualche 
servizio  all'analisi  classica,  dappoiché  non  é  sempre  possibile  estendere  a  A 
le  proprietà  degli  ordinarli  limiti  ;  ma  non  vien  menomata  l' importanza  della 
nozione  stessa  quando  se  ne  circoscriva  l'uso  alle  teorie  che  l' hanno  generata, 
cioè  allo  studio  degli  eventi  matematici  e  delle  mutue  distribuzioni  numeriche. 
Quanto  alla  discontimdtà  delle  funzioni  non  é  facile  scorgere  fin  dove  potrebbe 
farsi  sentire  l'utilità  di  mism-arla  esattamente  o  in  media;  ma  é  certo  che 
la  questione  acquisterebbe  alta  importanza  se  il  contegno  della  funzione  spe- 
cifica ST  da  noi  introdotta  avesse  qualche  iutiuenza  su  taluni  essenziali  fatti 
concernenti  le  funzioni,  come  la  derivabilità,  l'integrabilità  e  l'esprimibilità 
analitica  " . 
Eendiconti.  1888,  Vol.  IV,  1°  Sem. 
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