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percoiTe  A; ,  e  se  pi  è  la  frequenza  di  Aj  nel  sistema  dei  numeri  interi,  è 
chiaro  che  p{x)  è  uguale  a  zero  in  generale,  ma  jp{x)=pi  se  x  =  ki.  Ne 
segue  : 
^=Pi  ^ì+Pì  h-i-psh-i-  
Si  consideri,  per  esempio,  la  successione 
0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,  
ottenuta  prendendo  a»  uguale  all'esponente  della  massima  potenza  di  2  che 
divide  n .  Sebbene  non  esista  il  limite  di  questa  successione,  noi  potremo 
dire  che  essa  ha  per  medio  limite  l'unità.  Infatti,  dopo  aver  messo  in  Ai 
i  numeri  ottenuti  moltiplicando  per  2'-'  gli  interi  dispari,  si  vede  che  i 
sistemi  A  esauriscono,  senza  compenetrarsi,  il  sistema  dei  numeri  interi, 
e  si  ha  : 
1 
Ma  bisogna  osservare  che  non  è  sempre  lecito  invertire  i  sistemi  A ,  e 
quando  le  loro  frequenze  ed  i  limiti  corrispondenti  danno  luogo  a  serie  sem- 
plicemente convergenti,  occorre  eseguire  il  calcolo  di  A  pei  primi  n  termini 
della  successione,  e  far  poi  crescere  n  all'  infinito.  È  anche  importante  osser- 
vare l'eguaglianza 
^  =  —  («1  +  «2  +  «3  H  h  ttn)  , 
la  cui  dimostrazione  è  facile.  Essa  ci  conduce  a  definire  altrimenti  il  limite 
d'una  successione.  A  questa  si  sostituisca 
ct\ ,  i  («1  +  ai) ,  i  («,  +  «2  +  «3) ,  
Se  la  prima  successione  ha  un  limite  determinato  a ,  anche  la  seconda  ha 
un  limite  A  =  Se  la  prima  successione  non  ha  limite  determinato,  la  seconda 
può  averne  uno,  che  si  assumerà  come  medio  limite  della  prima,  e  questa 
definizione  del  limite  concorderà  con  quella  data  in  principio.  Se  poi  la  seconda 
successione  non  ha  limite  determinato,  se  ne  deduca  una  terza,  e  così  via, 
si  avrà  un  mezzo  di  classificare  le  successioni  di  numeri,  ascrivendo  al 
genere  0  quelle  che  hanno  un  limite  determinato,  al  genere  1  quelle  che, 
non  appartenendo  al  genere  0  ,  ammettono  una  prima  successione  derivata  con 
limite  determinato;  ecc.  Benché  queste  successioni  derivate  tendano  a  dive- 
nire «1 ,  fli ,  fli , . . . .  può  accadere  che  una  successione  sia  di  specie  trascen- 
dente, nel  senso  che,  fra  le  sue  derivate,  non  se  ne  trovi  una  a  limite  deter- 
minato. 
«  Ritornando  alle  funzioni,  si  calcoli  la  probabilità  che  f(a;)  sia  compreso 
fra  a  —  «  ed  a-\-  f  ,  nell'  intervallo  (x  ,a;-{-  h) ,  e  si  faccia  tendere  h  a 
zero.  Il  risultato  Pe  tenda  poi  a  P  ,  «)  ,  per  *  =  0  .  Questa  funzione  rap- 
presenta l'aspirazione  di  f{x)  al  valore  a.  Quando  f  (x)  è  continua  per 
