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un  gruppo  di  prima  specie  sono  infinitamente  rari  fra  i  numeri  reali.  Ed  è 
evidente  che  la  frequenza,  generalmente  nulla,  è  infinitesima  nei  valori  limiti. 
In  questi  ultimi  si  ha  dunque  discontinuità  di  grado  infinitamente  vicino 
all'imita  o  a  zero,  secondo  che  essi  appartengono  o  no  al  gruppo.  Anche  se  G 
fosse  di  seconda  specie  potrebbero  presentarsi  circostanze  analoghe.  In  parti- 
colare, la  funzione  di  Hankel,  uguale  ad  1  o  a  zero  secondo  che  x  è  razio- 
nale 0  no,  ha  la  proprietà  di  rappresentare  il  proprio  grado  di  discontinuità, 
in  quanto  che  il  suo  stato  è  infinitamente  prossimo  alla  piena  discontinuità 
per  valori  razionali  di  ,  e  raggiunge  quasi  la  continuità  per  ogni  valore 
irrazionale. 
«  Per  poter  misurare  l'energia  con  cui  xma  funzione  aspira  ad  avere  una 
determinata  discontinuità,  occorre  calcolare  il  limite,  per  f  =  0 ,  di  ^  ^  ; 
f 
e  quando  tale  limite  non  esiste,  si  è  obbligati  a  ricorrere  a  criterii  di  pro- 
babilità per  formarsi  un  convincimento  morale  circa  la  maggiore  o  minore 
aspirazione  della  funzione  considerata,  Occorre  dunque  estendere  ancora  il 
concetto  di  limite,  ed  a  ciò  si  perviene  come  segue,  nel  caso  più  semplice 
d'una  successione  di  numeri,  procedenti  in  un  determinato  ordine.  Sia  fé^x) 
la  probabilità  che  un  numero  preso  ad  arbitrio  nella  successione  x  —  a-^  , 
X  —  «2  5  x  —  «3 , . . . . ,  riesca  inferiore  ad  f  in  valore  assoluto,  e  si  rappre- 
senti con  lì  il  limite  di  j)s  per  f  =  0.  La  funzione  ^t^x)  rappresenta  l'inten- 
sità con  cui  la  successione     ,  «2 ,  «3 ,   tende  ad  avere  per  limite  il 
numero  x  :  essa  è  la  misura  dell'aspirazione  di  ad  Se  realmente  la 
successione  considerata  ha  un  limite  determinato  «,  è  chiaro  che  =  1, 
e  i^^x)  =  0  pe  x%a .  Se  invece  non  esiste  il  limite  di  ctn ,  per  n  infinito, 
ciò  non  può  impedirci  di  ritenere  che  a»  tenda  con  maggiore  0  minor  forza 
verso  ciascun  numero  x ,  e  neirincertezza  in  cui  siamo  circa  l'esistenza  di 
xm  limite  non  ci  sentiamo  meno  propensi  ad  attribuire  al  limite  stesso  un 
valore  ben  determinato,  che  cerchiamo  di  apprezzare  studiando  il  succedersi 
dei  valori  «1 ,  «2 ,  «3 , . . . . ,  col  tener  conto  delle  momentanee  tendenze 
verso  valori  preferiti,  e  della  probabilità  di  riuscita  che  ciascuno  di  essi 
presenta.  Così  ad  ogni  valore  x  si  attribuisce  una  determinata  importanza, 
rappresentata  da  xp{x)  secondo  i  più  elementari  principii  del  calcolo  delle 
probabilità.  E  però,  immaginando  che  il  limite  atteso  sia  l'ammontare  d'un 
premio  da  conseguire,  la  media 
1  =  2  xp  {x) 
è  la  speranza  matematica,  che  possiamo  considerare  come  il  valore  morale 
del  limite  della  data  successione,  poiché  l  rappresenta  precisamente  la  somma 
che  potremmo  equamente  pretendere  da  chi  volesse  sostituirci,  a  suo  rischio 
e  profitto,  nella  ricerca  del  limite,  considerata  come  caccia  ad  un  premio. 
In  particolare,  se  il  sistema  dei  numeri  interi  si  può  scindere  in  più  sistemi  Ai , 
A2 ,  A3 , .... ,  in  modo  che      tenda  ad  un  determinato  limite  li  quando  n 
