e  zero  e 
—  14  — 
una  discontinuità  di  grado  (9.  Ciò  è  spiegato  dall'esistenza  di  infiniti  tratti 
di  continuità,  che  vengono  in  qualche  modo  a  rompere  la  discontinuità  nel- 
l'intorno di  ^'  =  0,  derivando  essi  da  infinite  discontinuità  ordinarie,  che 
riconducono  incessantemente  la  funzione  al  valore  che  deve  assumere  per  ^  =  0 . 
Ed  è  anche  discontinua  di  grado  6,  in  ^  =  0,  la  funzione  che  per  questo  valore 
per  gli  altri  valori  della  variabile  è  espressa  da  j^-^  ~^      —  * 
noti  che  a  destra  di  zero  la  funzione  è  generalmente  continua,  pur  presen-' 
taudo  discontinuità  ordinarie  a  destra  di  infiniti  valori  di  x,  arbitrariamente 
piccoli. 
Ancorché  due  funzioni  siano  ugualmente  discontinue,  si  può  giudicare 
quale  delle  due  aspiri  meno  fortemente  ad  avere  quella  determinata  discon- 
tinuità, studiando,  per  ciascuna  di  esse,  il  modo  di  variare  di  zr^ ,  quando  s 
tende  a  zero.  Così,  per  a;  =  Q ,  il  grado  di  discontinuità  della  funzione  uguale 
a  zero  per  ,«  =  0,  ed  espressa  da  sen^/^sen^^  quando  differisce  dazerò, 
è  il  limite,  per  f  =  0,  di  1  -.  Ne  segue,  per  esempio,  che  mentre  le 
TXrC 
funzioni  espresse  in  generale  da 
sen  1  sen—  |  ,  sen  5  -  sen  —  ) , 
\     A\/  \n  3Cj 
hanno  lo  stesso  grado  di  discontinuità  in  ^  =  0,  si  può  dire  che  l'aspira- 
zione della  seconda  alla  continuità  è  n  volte  più  energica  dell'aspirazione 
della  prima.  Conviene  dunque  introdurre,  oltre  il  concetto  del  grado  zs  di 
discontinuità,  anche  quello  dell'intensità  d'aspirazione  al  grado  stesso,  e,  per 
ciò  che  si  è  detto,  tale  intensità  potrà  essere  convenientemente  misurata  dal 
valore  assoluto  di        per  f  =  0  . 
ds 
«  Dato  un  gruppo  di  numeri,  G,  sia  f{x)  uguale  ad  1  o  a  zero,  se- 
condo che  X  appartiene  o  no  a  G .  Già  sappiamo  definire  la  frequenza  di  G 
a  destra  di  x.  Calcolata  la  probabilità  che  un  numero  del  gruppo  sia  infe- 
riore ■àà  X ,  è  noto  che  la  frequenza  di  cui  si  tratta  è  la  derivata  della  pro- 
babilità stessa,  a  destra  di  x.  D'altra  parte,  se  f{:x)  =  0  ,  e  se  6  è  una 
frazione  propria,  piccola  quanto  si  vuole,  è  chiaro  che  è  il  limite,  per  h  =  0, 
della  probabilità  che  un  numero  dell'intervallo  {x,  x-\-h)  appartenga  a  G, 
e  tale  probabilità  limite  non  differisce,  come  è  facile  vedere,  dalla  frequenza 
testé  definita.  Così  vediamo  che  il  grado  di  discontinuità  di  f{x)  a  destra 
d'ogni  numero  estorno  a  G  è  rappresentato  dalla  frequenza  g{x)  degli  ele- 
menti di  G  a  destra  del  numero  considerato,  e  si  può  scrivere: 
=  f{x)  +  g{x)  —  2  f{x)  g{x) . 
È  noto  che,  se  G  è  di  prima  specie,  se  ne  possono  raccogliere  gli  elementi 
in  un  intervallo  arbitrariamente  piccolo.  In  altre  parole,  i  numeri  costituenti 
