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specie  si  potrà  avere  S7  =  l,  senza  che  il  valore  1  sia,  come  per  le  discon- 
tinuità ordinarie,  eifettivamente  raggiunto.  Un  esempio  di  ciò  si  ha  nella  funzione 
che  per  ^  =  0  è  zero,  e  per  ce  <  0  è  espressa  da  sen  — .  Posto  f  =  cos  ^ , 
con  6  compreso  fra  0  ed  1 ,  si  cerchi  la  probabilità  che  il  valore  assoluto 
di  sen—  superi  e  nell'intervallo  (0 ,  h).  Indicando  con  n  il  minimo  intero 
superiore  ad        si  ottiene: 
zsi    '  lim  n  ^ 
4:6 
{2i-{-iy—e 
2  ' 
ma,  per  applicazione  d'una  celebre  formola  di  Eulero,  la  somma  che  figm'a 
nel  secondo  membro  si  riduce  facilmente  a 
,    2ìi  —  1  -f-  6  .  , 
dove  /f'R{n)  tende,  per  n  infinito,  ad  un  limite  finito.  Ne  segue: 
5j  =  lim  /^  log  2/^  — 1-\-0  =  6  . 
n=co  2n  —  1  —  0 
Col  tendere  di  f  a  zero,  6  tende  all'unità,  e  però  zs=l  ;  ma  questo  valore 
non  è  mai  raggiunto  effettivamente  da  zs.,  cosicché  la  discontinuità  della 
funzione  considerata,  neirintorno  di  x  =  0 ,  non  è  la  piena  discontinuità, 
benché  ne  differisca  infinitamente  poco.  Essa  si  dileguerebbe  quasi  per  intero 
se  la  funzione  si  prendesse  uguale  a  zero  nei  valori  irrazionali  di  x ,  oltreché 
in  ^  =  0  :  si  avrebbe  ;^(0)  =  0,  e  la  funzione  sarebbe  quasi  continua.  Si  avrebbe 
dunque,  per  così  dire,  una  discontinuità  nascente. 
«  Si  consideri  ancora  la  funzione  rappresentata  da  ^  — 1^1  P^^' 
diverso  da  zero,  ed  uguale  a  zero  per  x  =  'ò .  Si  riconosce  subito  che  per 
essa  la  funzione  tz{x)  dilferisce  infinitamente  poco  dall'unità  quando  =  0 , 
e  raggiimge  poi  effettivamente  il  valore  1  a  destra  ed  il  valore  0  a  sinistra 
di  infiniti  valori  di  x,  differenti  da  zero  meno  di  quantità  arbitrariamente 
piccole.  È  poi  facile  costi'uire  delle  funzioni  che  abbiano  nell'intorno  di  ^  =  0 
un  determinato  grado  6  di  discontinuità.  Un  calcolo  in  tutto  simile  al  pre- 
cedente conduce  a  considerare  la  funzione  generalmente  nulla,  ma 
uguale  ad  1  nell'intervallo  ( —  B ,  6).  La  funzione  espressa  in  generale 
da  ^  ^sen-^^ ,  ed  uguale  all'unità  per  .»  =  0,  é  la  funzione  richiesta.  Simil- 
mente, la  funzione  uguale  ad  —  —  |  ~"  |  quando  questa  espressione  rappre- 
senta  un  numero  non  superiore  a  0 ,  ma  nulla  in  ogni  altro  caso,  ha,  per  .r  =  0 , 
