—  101  - 
rappresenta  una  funzione  analitica  di  regolare  per  r(x)  >  a  e  per  s  pic- 
colo quanto  si  vuole  ed  anche  per  «  =  0  se  <f{t)  è  finita,  o  infinita  d'ordine 
(algebricamente)  minore  del  primo,  per  ^  =  0.  Ma  se  cf  {t)  è  infinita  per  t  =  0 
d'ordine  k^l,  l'espressione 
J -»  co 
0 
non  avrà  alcun  significato,  benché  essa  possa  continuare  a  godere  di  proprietà 
formali.  Bensì  avrà  significato  l'espressione 
^  OO 
(2)  (—1)^  e-''^l^(f{t)dt 
per  ogni  X^k;  e  supponendo  d'ora  innanzi  l  intero,  qust' ultima  espres- 
sione si  potrà  chiamare  la  derivata  A^™"  formale  della  (1). 
«  Ciò  posto,  se  in  luogo  della  (1)  prendiamo  a  considerare  l'espressione 
^  OO 
dove  a  è  tale  che  r(a)  >  a,  questa  avrà  significato  per  r{x)  ^  a  e  rappre- 
senterà per  quei  valori  di  x  una  fimzione  analitica,  le  cui  proprietà  saranno 
affatto  simili  a  quelle  di  cui  godeva  formalmente  la  (1).  In  particolare  le 
derivate  della  (3),  dall'  indice  l  in  avanti,  coincidono  colle  (2). 
n  II  procedimento  con  cui  dalla  (1)  si  è  passati  alla  (3),  è  stato  sug- 
gerito da  una  formula  che  s' incontra  nella  teoria  delle  funzioni  euleriane  come 
T'ix) 
espressione  di  ^ ,  ;  (').  Esso  sarebbe  suscettibile  di  generalizzazioni  sulle 
T  {x) 
quali  mi  propongo  di  tornare,  ed  è  appena  necessario  di  avvertirne  l'analogia 
col  metodo  che  si  tiene  nell'applicazione  del  teorema  di  Mittag-Leffler,  quando 
ai  termini  di  una  serie  si  sottraggono  funzioni  opportune  in  modo  che  la 
serie  si  riduca  convergente. 
«  2.  Prendo  a  considerare  la  serie  multipla 
(4)    y  ( '^^ì  {'^'\  ■  ■  ■  ("""ì  , 
/   \ih/  \'/«2/     \n.M/  {x  +  ni  «1  -I-  W2  «2  H  Un  cc^f- 
dove  le  ri ,  ri,  . . .  rm  sono  quantità  reali  e  negative  e  le     ,  «2 ,  •  •  •  '^m 
sono  quantità  complesse  aventi  la  parte  reale  positiva,  e  la  somma  va  estesa 
a  tutti  i  valori  interi,  positivi  0  nulli,  degl'indici  /ij,  n^^...  Um-  Siccome  . 
questa  serie  converge  e  diverge  insieme  alla 
(ìli  «1  -h  Ih  «2  H  nm  «m) 
così  mi  occuperò  prima  di  questa. 
«  Estraggo  dalla  (5)  quel  gruppo  di  termini,  che  dirò  Sn,  in  cui  la 
(0  V.  Hermite,  Cours,  3™^  éd.,  p.  131  (Paris,  Hermann,  1887). 
