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somma  ni  H-  -{-  . . .  ìim  degl'  indici  è  costante  e  uguale  ad  n  :  indi,  essendo 
ce  la  minima  fra  le  r{ai),  r(a2),  ■ . .  osservo  che  in  quel  gruppo 
I  Ui  «1  +  ^2  «2  H —     <^m  I  —  ìli  r  («i)  +  Hi  r  («s)  H — ìim  r  («m)  ^  ; 
inoltre,  per  essere  le     ,  To  , . . .      negative,  il  coefficiente 
è  essenzialmente  positivo;  infine  per  le  proprietà  dei  coeffìcenti  Mnomiali, 
y  i  [  '%  ■  •  ^"'ì = + + -  M , 
dove  la  somma  si  estende  ai  valori  degl'  indici  la  cui  somma  è  uguale  ad  n. 
Per  queste  ragioni,  si  ha: 
isi^iis,.i^_i(-irf-+-+--)^. 
Ma  il  rapporto  di  due  termini  consecutivi  in  quest'ultima  serie  essendo 
^  _  l  +  /'i  +  ^2+  •••  r,a  +  1  ^  
n 
si  ha,  per  il  criterio  di  Gauss,  che  essa  sarà  convergente  sotto  la  coudizione 
(6)  ^  >  —  0-1  +  r2  +  -  r,„)  . 
Tale  è  la  condizione  di  convergenza  della  serie  (5)  e  conseguentemente  della  (4). 
"  3.  Tornando  alle  espressioni  della  forma  (1),  consideriamo  il  caso  speciale 
(7)  \  e-^'/7(l  — 
v  =  l 
0 
dove  le  hanno  le  parti  reali  positive.  La  (7)  si  può  riguardare  come 
la  generalizzazione  dell'  integrale  euleriano  di  prima  specie,  come  si  vede 
scrivendola  sotto  la  forma 
Jo 
mediante  la  trasformazione  u  =  e~K 
«  Quando  la  (7)  ha  un  significato,  essa  rappresenta,  per  r{w)  ^  0,  una 
fimzione  analitica  regolare  di  ,x;  ma  se  gli  esponenti  ì\  sono,  come  li  sup- 
porremo quindi  innanzi  ('),  reali  e  negativi,  la  funzione  sotto  il  segno  è  infi- 
nita dell'ordine  — (ri  H- + . . . r^)  per  t  —  0  e  la  (7)  non  ha  significato 
se  quest'ordine  è  maggiore  dell'  unità.  Ha  invece  sempre  un  significato 
l'espressione 
( — IV^-'  I  ™ 
(8)  =  n  {l—e%J. dt , 
per  /  intero  e  soggetto  alla  condizione  (6). 
(')  Si  tralascia  per  brevità  l'estensione  al  caso  che  le  i\  siano  complesse,  e  all'altro, 
assai  semplice,  che  alcune  delle  ry  siano  positive. 
