—  103  — 
«  Svolgendo  in  serie  il  prodotto  sotto  il  segno  nella  (9),  si  può  eseguire 
l'integrazione  termine  a  termine,  poiché  in  forza  delle  considerazioni  svolte 
nel  §  precedente,  si  può  applicare  un  noto  teorema  del  Dini  (');  e  si  ottiene 
così 
«  Il  teorema  di  Mittag-Leffler  c'  insegna,  partendo  da  questa  espressione, 
integrando  X — 1  volte  e  determinando  convenientemente  le  costanti,  a  for- 
mare un'espressione  che  nei  punti  — «i  H-WicraH — n,nc<m)  è  infinita  del 
prim' ordine  coi  residui  ( — 1)''  (  V)  (  7^)"    (l™)'  s.gov^  è  ap- 
pimto  di  far  notare  come  questa  espressione  si  possa  ottenere  in  forma  d'in- 
tegrale definito,  applicando  alla  (7)  il  procedimento  indicato  al  §  1  ;  e  questa 
espressione  si  ha  senz'altro  nella  forma 
-  (^1  +  (1  —  ^)      -  +  ^^~'^"^;^'"')  e-'  j  5  (1  —  e--.r^ dt , 
che,  integrata  termine  a  termine,  dà  appunto  l'espressione  indicata  dal  teo- 
rema di  Mittag-Leffler 
I<-')t:)C)-(::) 
1 
(1  H-      «1  +  •••  n;n  dm  (1  A') 
 1  1— ^    (1— .r)^-^  ) 
1  +  ìli  «1  +  ••■  Uni  dm         (l-h  /li  «1  +  •••  Hm  «i„)^  (H-/ii«i-|— •>'?m«jn)'''~^) 
«  4.  Il  eh.  Hermite,  ricordando  la  nota  formola 
per  il  caso  di  r{a)  >  0,  si  propone  di  vedere  ciò  che  essa  diviene  per  r{a)  <^  0  (-). 
Il  metodo  accennato  al  §  1  conduce  ben  presto  al  risultato,  che  non  è  che 
un  caso  speciale  di  quanto  si  è  trovato  al  §  3.  Infatti,  posto  ti  =  e~\  l'espres- 
sione 
non  ha,  per  r{a)  ■<  0,  alcun  significato  ;  ma  si  indichi  con  A  un  numero  in- 
tero tale  che  sia 
X-hr{a)<0 
e  si  consideri  la 
J"|  e--'—  ^1  +  (1  — .2^)  +  •  •  ^-^^=^lfr~«-')  I  (1  -  O'-'  dt  : 
(1)  Dini,  lezioni  litogr.  di  calcolo,  calcolo  integrale,  p.  90.  Pisa,  1877-78. 
(^)  Acta  Societ.  Scientiarum  Fennicae,  t.  XII,  1881. 
