—  110  — 
alle  condizioni  (C)  ed  inoltre  essa  dovrà  avere  corrispondentemente  alle  linee 
del  contorno  im  valore  nullo.  Applichiamo  ora  la  formula  (A)  prendendo 
Ct»i=a>o=*ri"' ;  si  avrà 
-       di]  cosnx-ì  ^=^-;r  —cosny-{  cob  nslm. 
J-^    i       T>i  Di  Di  ) 
dW" 
K  Ma  al  contorno  e  si  ha  —  0  ^  quindi  (vedi  §  2)  potremo  pren- 
dere 6i=0  limgo  a,  nei  tratti  in  cui  /(  non  è  costante,  mentre  lungo  questi 
avremo 
(o)  cos     :  cos    :  cos  W5  = —  :  — ■  :  —  ; 
^  Da;     liij  1)3 
perciò  la  equazione  precedente  diven-à 
dS  =  0 
da  cui  risulta  li-q;"'if;"'  =  0  e  quindi  W"  costante  (vedi  Nota  prec.  §  6). 
La  W"  dovendo  esser  nulla  al  contorno,  sarà  sempre  nulla  e  perciò  W'—W". 
«Basterà  dunque  conoscere  i  valori  corrispondenti  alle 
linee  del  contorno  di  S  della  parte  reale  0  delia  parte  imma- 
ginaria di  una  funzione  collegata  alla  F  nel  senso  rieman- 
niano,  perchè  la  funzione  stessa  sia  nota. 
"  Il  teorema  precedente  può  dimostrarsi  anche  applicando  la  (B)  e  sup- 
ponendo in  essa  d'i  ~h  i  ^2  collegata  ad  F  nel  senso  riemanniano. 
«  5.  Kiprendiamo  la  formula  (6)  e  poniamo  <l>2  =  (P.  Avremo  : 
I  =  ^J^^^JL^^dS  =  T^^H^^^^  dS  H-^AH,^^^^     y^AH^^^^  dS . 
«  Supponendo  CP2  nulL)  per  tutte  le  linee  del  contorno  e,  potremo  assu- 
mere ^2  =  0  lungo  cr  ove  /<  non  è  costante,  mentre  negli  altri  tratti  ove 
/il  —  cost.,  avremo  soddisfatte  le  (8),  onde  applicando  la  (A)  otterremo 
«  La  condizione  necessaria  e  sulBciente  affinchè  I  risulti  massimo  0  mi- 
nimo, per  dati  valori  di  (P  corrispondenti  alle  linee  del  contorno,  e  suppo- 
nendo A  sempre  dello  stesso  segno  in  S,  sarà  quindi  data  da 
.ON  /E13X— Ei2p\     ,      ^    /E23Z  — E22P\     ,      7>  /E33X  — E32g\ 
^\    d;    )~^^[  )~^vA    d;  )'^^ 
e  si  avrà  per  I  un  minimo  od  un  massimo  secondochè  A  sarà  positivo  0 
negativo. 
