—  Ili  — 
«  Dall' esser  soddisfatta  la  (9)  insieme  alla  (4)  segue  (vedi  Nota  prec.  §  7) 
che  esisterà  una  funzione  <P'  tale  che  O  -j~  i4>'  sarà  collegata  alla  F  nel 
senso  riemanniano.  È  palese  l'analogia  fra  le  presenti  considerazioni  e  quelle 
su  cui  si  basa  il  cosi  detto  princijuio  di  Riemam-Dirichlet. 
«  6.  Se  (Pi  +  è  collegato  ad  F  nel  senso  riemanniano,  esisteranno 
le  due  funzioni  6^  e  tìo  (vedi  §  2)  le  quali  soddisfano  le  equazioni  (5). 
«  Troviamo  ora  quali  relazioni  sussistono  fra  queste  funzioni.  Tenendo 
conto  delle  equazioni  (Ai)  della  Nota  prec.  §  4,  avremo 
1)IJ  liX  1)ÌJ  ItS 
(10)  {  Di^-D3^  =  E.i^H-E,.^  +  E.3^'^ 
lìx  l)y  ~òs 
D2       —  Di       =  E31  — +  E32  -— ^  +  E33 
1)X  7)//  1)X         '  ~òy  1)2 
come  pm-e  le  equazioni  equivalenti 
D3— ^  —  D2— ^  =  —  ^Eii  — ^  H-  E12    ^  +  Ei3  — 
l)tj  13         \      Ice  12 
1)^2         ^    D^2  /-n     ^^1         -n  ,  -n 
Dx 
^_D3^=-(e„i^  +  E22^  +  E,3^) 
7^.~  D.i-  \      Ix  ly  IJ  J 
D2  ~r-^  —  Di  — ^  =  —  (e3i  -^-^  -f-  E32  — ^  H-  E33  —-^1  • 
Ix  ly  \      l\x  ly  li3  / 
«  Le  due  funzioni  ^i  e  60  debbono  dunque  soddisfare  ad  una  stessa  equa- 
zione differenziale  che  è  la  seguente 
e  lungo  una  superfìcie  qualunque  a,  per  la  quale  il  quadrato  dell'elemento 
lineare  è  ds'^  =  Edu"^  H-  2FdH  dv  +  Gcfe^  dovrà  aversi  (vedi  :  Stelle  fimz. 
difFda  linee.  Art.  Ili,  §  3) 
d^  1        d\{6ii-i)     dQ>2  1  d{6^fi) 
~  \/m  —  Y^  d{u,  v)  '  dG  ~  j/EG  — E-  d{u,  v) 
«  6.  Le 
t^Pi  c/Pi  ^^F, 
diyz)  '  d{sx)  '     '  d{xy) 
dFo  dF.2  f/Fa 
diys)  '  d{sx)  '  d{xy) 
soddisfano  anche  esse  alle  condizioni  (vedi  Nota  prec.  §  4) 
I   Ix        ~òy         12  I    Ix        ly  Iz 
I  Di^^i  +  D2  cji  +  D3  ri  =  0         I  Di 2h  +  D2  //2  +  Da  ì\=0; 
