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2"  Caso. 
«  Consideriamo  ora  il  caso  in  cui  la  (2)  non  sia  integrabile.  Adottando 
le  solite  notazioni,  relativamente  alle  due  funzioni  F  e  <P  collegate  fra  loro 
nel  senso  riemanniano,  si  determinino  9-1  e  (f  z  in  modo  che  siano  soddisfatte 
le  equazioni: 
(13i) 
in  cui  k  è  una  funzione  che  lasceremo  per  ora  indeterminata.  Supporremo 
di  rimanere  entro  un  campo  T  in  cui  le  equazioni  precedenti  possono  essere 
soddisfatte  da  funzioni  (f  i ,  cf  ^  monodrome  finite  e  continue,  comunque  siano 
^1  («i 5  Zi:  Qi  purché  anche  esse  monodrome  finite  e  continue.  A  cagione 
delle  relazioni  (3)  e  (Bi)  (vedi  Nota  I)  avremo  che  delle  equazioni  prece- 
denti, ima  risulta  conseguenza  delle  altre  due.  Da  esse  si  ricava,  tenendo 
conto  delle  formule  (Ai),  (3),  (4')  della  Nota  I, 
Eli 
7^1 
Dx 
^Ei2 
-Ei3 
-D3 
^y 
=  Aj^i 
E21 
7)  (Pi 
~  E22 
^y 
-  E23 
-D3^ 
la; 
-Di 
12 
=  /^Zi 
E31 
-E32 
-  E33 
1)3 
uDi^ 
^y 
—  Do 
l^Vì 
Ix 
=  kQi 
(132) 
f-Ei2 
7)^2  ^ 
-Ei3 
■  12 
f-Da 
Ix 
llj 
^y 
7)^2  _^ 
-  E22 
1(P2_^ 
-  E23 
7£2_ 
Ix 
hDi 
i)(fi 
1)X 
ly 
^2 
D2 
liX 
-  E32 
IXfì 
"~  E33 
l)(f.2 
D2 
Di^H 
ly 
hD2 
l(fl 
Ix 
"  Moltiplicando  le  (ISj)  per  i  e  sommandole  colle  (13i),  posto  qi~hi(f  2  =  (p 
e  denotando  con  p' ,  q' ,  -/  i  valori  coniugati  ài  p  ,  q  ,  r  ,  avremo  con  im 
calcolo  facile: 
p'?Z^q':^^r'^=k^=k^  =  k^. 
l)x        ly        12        p        q  r 
Se  ora  eseguiamo  im  cambiamento  di  variabili  e  passiamo  dalle  x  ,  y  ,  2 
alle  ^' ,  ?/' ,  /,  si  dimostra  senza  difficoltà  che  basterà  prender  k  in  modo 
che  kix  ,  il  ,     — k{x ,  11 ,  2)   f/'f  '    '       affinchè  colle  stesse  cpi  e  g-2 
'  d{x  ,y  ,2) 
le  (13i)  e  (182)  valgano  qualunque  siano  le  coordinate  x,  y ,  2. 
«  Abbiasi  ora  un'altra  funzione  (P'  =  +  /  ^'2'  collegata  alle  prece- 
denti nel  senso  riemanniano  e  a  cui  corrispondono  37/  ,  xì  ,  ;  tsÓ  .  ^2'  »  ^2' 
e  le  funzioni  9/ ,  (f^ ,  tali  che  fra  esse  passino  le  relazioni  analoghe  alle 
(13i)  e  (132). 
