—  1113  — 
pouiTU  que  les  nombres  ?;  soient  positifs.  Le  dernier  rapport  tend  donc  aussi 
à  A,  polir  n  iufini.  En  conséquence 
lim|i^  =  lim^  (1) 
lorsque  le  second  membre  esiste.  11  en  résulte  que,  pour  comparer  deiix  séries 
divergentes,  ou  peut  se  borner,  dans  un  grand  nombre  de  cas,  à  comparer 
leurs  termes  généraux. 
«  Une  serie  divergente  Vi -\-Vo-^   .étant  donnée,  on  peut  toujours  en 
construire  une  infinite  d'autres,  qui  divergent  moins.  Il  suffit  de  prendre 
ll-n  =  /  (^1  +       H  h  Vn)  —  f  {ih  +  ^'2  H  h  Vn-i)  , 
en  siipposant  que  /  {x)  croisse  indéfiniment  avec  tandisque  sa  dérivée  tend 
à  zero.  On  a  alors 
U,n  =  /(V.), 
et  TJjj  croìt  indéfiniment  avec  n,  bien  que  son  rapport  à  V„  ait  zero  pour 
limite.  Il  est  donc  impossible  de  séparer  nettement  la  classe  des  séries  con- 
vergentes  de  celle  des  séries  divergentes.  C'est  à  cette  impossibilité  que  nous 
devons  l'imperfection  nécessaire  de  tous  les  caractères  spéciaux  de  convergence. 
»  Ayant  fixé  une  sèrie  divergente  ih  +  ih  -\  ,  à  termes  positifs,  sup- 
posons  que,  poiu-  une  sèrie  quelconque,  dont  le  terme  général  est  lln^  le  rap- 
li 
port  —  ait  une  limite  /,  pour  n  infini.  On  aura,  en  vertu  de  (1), 
lim|^'  =  A.  (2) 
'  n 
Si  la  sèrie  est  convergente,  A  =  0  ;  mais  il  convient  de  remarquer  que  la 
ti 
condition  2  =  0  n'est  pas  nécessaire  pour  la  convergence;  car  —  pour- 
Vn 
rait  ne  pas  avoir  de  limite.  Elle  n'est  jamais  sufiisante,  quelle  que  soit  la 
serie  des  v.  Cette  importante  remarque,  due  à  Abel,  résulte  immédiatement 
de  ce  que,  d'après  (2),  les  séries  pour  lesquelles  X  —  0  soot  convergentes  ou 
moins  divergentes  que  la  serie  des  y,  et  nous  savons  quii  est  toujours  pos- 
sible  de  construire  une  infinité  de  séries,  qui  divergent  moins  que  la  sèrie 
des  V.  Il  suffit  de  considérer,  par  exemple,  la  sèrie  dont  le  terme  général  est 
V 
Un  =  log  ^  ■ 
V  n— 1 
On  a  J],i  =  log  Vn .  La  sèrie  diverge  donc.  Cependant,  à  cause  de 
Vn  nr-i 
on  a  A  =  0  .  On  pourrait  encore  imaginer  une  fonction  f{x),  qui  augmente 
continuellement  et  indéfiniment  avec  tandisque  sa  dérivée  reste  finie.  On 
vuit  que,  pour  la  sèrie  dont  le  terme  général  est 
