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la  eondition  /  =  0  est  remplie.  Cependant,  la  serie  est  divergente.  En  eifet 
V  V 
Poiu"  n  croissant  à  l'infini  et  v  Constant,  le  second  membre  ne  peut  tendi-e 
à  zero,  sans  quoi  /'  [x)  devrait  augmeuter  indéfiuaiment  avec  ^,  contrairement 
à  rhTpothèse.  Il  en  est  de  méme,  à  plus  forte  raison,  de  U„ — Uv,  quelque 
soit  j'.  Cela  suffit  pour  affirmer  que  la  serie  est  divergente. 
>^  On  sait,  d'après  Kummer,  que,  si  l'on  pose 
V-a  Vn- 
r examen  du  rapport  — -  foui'nit,  poui-  les  séries  à  termes  positifs,  un  inté- 
ressant  caractère  de  convergence,  puisque  la  serie  des  u  est  convergente  ou 
divergente,  suivant  que  la  limite  du  rapport  considéré,  si  elle  existe,  est 
negative  ou  positive  {}).  Si  elle  est  nulle,  on  ne  peut,  en  general,  rien  affir- 
mer. Cela  étant,  supposons  que  la  serie  proposée  soit  divergente.  La  for- 
mule (1),  appliquée  aux  séries  des  iv  et  des  donne 
1  ■         Un  , .  Wn 
lim  —  =  lim  —  ' 
U  ji  V ,x  Uti 
pom-vn  que  le  second  membre  existe.  Douc  lim  —  =  0 ,  non  seulement  dans 
Un 
ti  te 
le  cas  de  lim  —  =  0 ,  mais  encore  dans  le  cas  où  —  tend,  pour  n  infìni, 
Vn  Vn 
vers  une  limite  fìnie  et  déterminée.  Le  caractère  rappelé  ne  conduit  donc  à 
rien,  toutes  les  fois  que  le  caractère  basé  sur  Texamen  de  —  permet  de 
Vn 
constater  la  divergence  de  la  serie.  C'est  pourquoi  il  convient  de  borner  l'exa- 
w  i  li 
men  de  — '-  aux  séries  pom'  lesquelles  —  tend  à  zero.  Mais  l'on  peut  faire. 
Un  Va 
ici,  une  remarque  analogue  à  celle  d"Abel  (^),  en  montrant  qu'il  existe  une 
inlìnité  de  séries  divergentes,  qui  satisfont  aux  conditions  simultanées 
lim  '-^  =  0  .       lim  ^  =  0 , 
Vn  '  Un 
quelle  que  soit  la  sèrie  des  v.  Eeprenons,  dans  ce  but,  la  sèrie  dont  le  terme 
général  est  donné  par  l'égalité  (3).  On  a 
Le  second  membre  ne  peut  augmenter  à  l'infini  avec  n.  puisque  f  ice)  est 
(1)  Voyez  le  Mémoire  de  Diui  sulle  ser  ie  a  termini  positivi  (Annali  dell'Univ.  Tose, 
IX,  §  18). 
(2)  Voyez  Dini,  loc.  cit,  §  23. 
