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toujoiirs  finie.  Donc  lim  —  =  0 .  Il  y  a  plus  :  —  finit  par  prendre  un  signe 
Un  Un 
contraire  à  celui  de  /"(V„),  lorsque  V„  croìt  à  l'infini  avec  n.  Donc  — 
Un 
tond  à  zèro  par  valeurs  négatives.  C'est  précisément  le  cas  qui  nous  interesse; 
w 
car,  si  — -  tendait  à  zèro  par  valeurs  positives,  on  pourrait  toujours  affirmer 
Un 
la  divergence  de  la  serie. 
«  On  étend  saus  peine  le  théorème  (1)  au  cas  où  le  rapport  des  termes 
géuérauz,  au  lieu  d'avoir  une  limite  finie  et  déterminée,  tend  vers  des  limites 
tìnies  2i ,  ..  en  uombre  fini,  suivant  que  n  parcourt  un  des  systòmes 
Al ,  A2 , ... ,  A,. ,  respectivement.  On  suppose  que  tout  nombre  entier  appar- 
tienne  à  quelqu'un  de  ces  systèmes,  mais  à  un  seul.  On  peut  alors  definir 
une  fonction  (fi{n),  qui  soit  égale  à  l'unite  ou  à  zero, suivant  que  n  appar- 
tieni ou  non  au  système  Aj.  Si  la  limite 
l.  ^      V i  (fi {l)  +  V2  (pi (2)  ~\  \-  Vn(pi{n) 
existe,  pour  toutes  les  valeurs  de  i,  on  a,  au  lieu  de  (2), 
lim^  =  /iAi  +  44H  \-lrK-  (4) 
'  n 
Lorsque  ?'„  ==  1 ,  h  est  la  probabilité  qu'un  nombre  entier,  pris  au  hasard, 
appartienne  au  système  A;.  Lorsque  Vn  =  n,  on  peut  dire  que  kn  est  la 
forme  asymptotique  du  nombre  du  système  A;;  etc.  Supposons  mainte- 
nant  que  les  nombres  v  dècroissent  continuellement,  et  que  Ai ,  Aj ,  soient 
les  systèmes  des  nombres  impairs  et  des  nombres  pairs.  On  peut  écrire 
,         ,  Vi—V2-{-  Ih  ±  Vn 
h  — 1-2  =  lim  ■  • 
La  sèrie  du  numérateur  n'est  pas  divergente.  Donc,  en  observant  que  /i-|-<^2=l, 
on  a 
—  4==0,    d'où    l\  —  lt=\. 
Par  suite,  si  —  tend  vers  a  ou  vers  /?,  suivant  que  n  est  impair  ou  pair, 
on  trouve,  au  lieu  de  (2), 
»  n 
Consèquemment,  pour  que  la  sèrie  proposèe  soit  convergente  ou  moins  diver- 
gente que  la  sèrie  des  y,  il  est  nécessaire  que  les  limites  a  et  /?,  tant  qu'elles 
existent,  soient  ègales  et  de  signes  contraires.  La  formule  (4)  fournit  ainsi 
de  nouveaux  caractères  de  divergence,  qui  pourraient  étre  utiles  lorsque 
—  oscille  entre  des  limites  finies,  en  nombre  fini  1 . 
Vn 
