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Matematica.  —  Sopra  un  teorema  fondamentale  nella  teoria 
del  calcolo  simbolico  delle  Forme  erniarie.  Nota  di  Ernesto  Pascal, 
presentata  dal  Socio  Battaglini. 
f  In  una  mia  Nota  precedente  ho  data  ima  semplice  dimostrazione  di  un 
teorema'  sul  calcolo  simbolico  delle  Forme  binarie,  che  io  avea  già  accen- 
nato per  incidente  in  altro  mio  lavoro,  e  che  sta  dimostrato  in  modo  diverso 
nella  recente  opera  di  Kerschensteiner,  raccolta  dalle  lezioni  di  Gordan. 
II  teorema  il  quale  in  fondo  è  che  :  mantenendosi  sempre  nei  limiti  delle 
espressioni  simboliche  (cioè  senza  sviluppare  mai  i  determinanti  e  i  fattori 
lineari  che  entrano  nelle  formazioni  invariautive),  si  deve  poter  rintracciare 
qualunque  relazione  che  esista  fra  le  Forme  invariantive,  è,  come  si  vede, 
di  fondamentale  importanza,  costituendo  uno  dei  principi  base  del  calcolo 
simbolico. 
«  In  un  recentissimo  lavoro  il  sig.  Study  ha  esteso  il  teorema  alle  Forme 
ternarie  (^);  io  mi  propongo  in  questa  Nota  di  dimostrare  lo  stesso  teorema 
nella  sua  massima  generalità,  cioè  per  le  Forme  ennarie.  Il  vantaggio  del 
mio  metodo  di  dimostrazione  mi  pare  che  sia  quello  di  far  penetrare  molto 
addentro  nell'  intima  natura  del  problema.  La  dimostrazione  che  lo  Study  dà 
pel  caso  delle  ternarie,  ha  in  fondo  la  stessa  tessitura  della  citata  dimostra- 
zione di  Gordan  pel  caso  delle  binarie.  Egli  si  serve  di  una  certa  generaliz- 
zazione della  formola  di  Gordan  data  da  Clebsch  in  una  importante  Me- 
moria (-).  Io  mi  servo  dei  risultati  ottenuti  in  una  recente  Memoria  del 
prof.  Capelli  sullo  stesso  argomento  (^). 
«  Siano  ai,  a^,  ...     ,  x-i-:   rispettivamente  serie  di  coefficienti  e 
di  variabili  di  specie      per  modo  che  formino  le  forme  lineari  : 
«  È  noto  che  fra  un  certo  numero  di  tali  elementi  (coefficienti  e  varia- 
bili) esiste  sempre  una  relazione  d'identità  del  tqjo  invariantivo,  la  quale 
varia  di  forma  secondochè  si  tratti  o  di  tutte  variabili,  o  di  variabili  e  di 
coefficienti,  o  di  tutti  coefficienti. 
(1)  Uehef  tef  Ilare  linear  e  Fornien.  Math.  Ann.  Bd.  30,  s.  120. 
(2)  Ueber  eine  Fundamentalaufgabe  der  Invariantentheorie.  Abh.  der  k.  Ges.  d.  "Wiss. 
zu  Gottigen,  Bd.  17,  1872.  Cfr.  anche:  Gordan,  Ueber  Combinanten,  Math.  Ann.  Bd.  V. 
(3)  Fondamenti  di  una  teoria  generale  delle  forme  algebriche.  Memorie  della  R. 
Accademia  dei  Lincei,  serie  3^  voi.  XII,  1882. 
