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li 
Questa  relazione  prende  cinque  forme  diverse  che  sono: 
y  (— l)"'(«;+i«i+2.... 
(1) 
1=1 
(— 1)'"  (fl-i+i  «i+a"....  Cli-^)  CUx  =  0 
(2) 
(3) 
2^  (—1)'"        +  !  ^i-l)  ««-^  =  0 
(4) 
(5) 
f  Cogli  stessi  2n  coefficienti  possono  evidentemente  comporsi 
iden- 
tità del  tipo  (1),  mentre  con  ?2-j-lcoefficienti  e  una  variabile  non  può  com- 
porsi che  una  sola  identità  del  tipo  (2),  e  così  per  (3). 
«  Le  (1),  (3),  (5)  possono  dar  luogo  a  molti  casi  particolari  supponendo 
due  0  più  degli  elementi  che  vi  compariscono,  fra  loro  eguali. 
«  Ora  io  dico  che  se  si  ha  un'espressione  del  tipo  invariantivo,  cioè  for- 
mata con  determinanti  ennarii  e  con  fattori  lineari  ennarii,  e  se  questa  espres- 
sione è  identicamente  zero,  essa  può  sempre  ridursi  in  una  somma  di  ter- 
mini di  cui  ciascuno  contenga  per  fattore  una  delle  cinque  suddette  iden- 
tità-sei'o,  il  che  equivale  a  dire  che  usando  solo  le  ideìitità-zeì''o  deve  po- 
tersi riconoscere  l'annullarsi  dell'espressione  senza  aver  bisogno  di  sviluppare 
le  diverse  formazioni  invariantive  che  essa  contiene. 
K  Intendiamo  però  che  l'annullarsi  dell'espressione  sia  di  tale  natura 
che  sussista  quando  i  coefficienti  simbolici  che  in  essa  vi  compariscono  si 
considerino  come  effettivi  ;  ma  è  chiaro,  che  se  anche  ciò  non  fosse,  possiamo 
sempre  ridurvici  prendendo  la  media  aritmetica  di  tutte  le  espressioni  che 
si  ottengono  dalla  data  permutando  i  simboli  equivalenti  in  tutti  i  modi 
possibili  fra  loro.  L'espressione  data  la  supponiamo  naturalmente  omogenea 
in  ciascuna  serie  di  coefficienti  e  di  variabili. 
«  Supponiamo  in  primo  luogo  che  non  contenga  che  n-\-l  serie  di  coef- 
ficienti e  una  sola  serie  di  variabili.  Ponendo  allora,  per  brevità, 
{cii+i  cii+2.  ••••  di-i)  —  Aj 
essa  risulterà  di  tanti  termini,  ciascuno  del  tipo 
B  =  A^  At'  A^iV  ah  (h. 
mentre  la  (2)  diventa 
V(_l)«'A,«/^-=0. 
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