«  La  dimostrazione  suesposta,  sussiste  perfettamente  se  invece  di  n~hl 
coefficienti  e  una  variabile,  vi  sono  reciprocamente  n-\-l  variabili  e  un  coef- 
ficiente. 
"  Consideriamo  ora  il  caso  generale,  in  cui  vi  sono  p  serie  di  coeffi- 
cienti, e  q  serie  di  variabili.  È  chiaro  in  primo  punto  che 
Infatti  se  uno  dei  due  numeri  p,  q  è  eguale  ad  n-ì-1  e  l'altro  è  zero,  al- 
lora cogli  elementi  dati  si  possono  formare  solo  n-hl  determinanti  ennarii. 
«  A  causa  della  omogeneità  di  tutta  l'espressione  in  ciascuno  elemento, 
si  possono  stabilire  delle  relazioni  analoghe  alle  (6)  facendovi  però  in  queste 
le  /3  tutte  zero.  Allora  dalle  (7)  appare  che  ciascuna  delle  «  deve  essere 
costante,  e  allora  l'espressione  risulterebbe  di  termini  tutti  eguali. 
«  Se  uno  dei  due  numeri  p,  q  è  eguale  ad  n  e  l'altro  è  1,  allora  si 
può  formare  un  solo  determinante  ennario,  e  poi  n  forme  lineari. 
«  Se  dunque  l'espressione  data  contiene  in  un  suo  termine  il  determi- 
nante alla  potenza  «,  e  i  fattori  lineari  alle  potenze  (io  —  i^n-,  dovendosi 
avere,  a  causa  dell'omogeneità 
a-f-^i=COSt.        a+i?2  ==  COSt          a  +      =  COSt. 
/?!  +  /?2  H  h  §n  =  COSt. 
sarà  per  tutti  i  termini  «=cost.,  e  quindi  allora  togliendo  da  tutta  l'espres- 
sione il  fattore  comune  (determinante),  resta  un'espressione  composta  solo  di 
fattori  lineari. 
K  Allo  stesso  caso  ci  riduciamo  chiaramente  se  nessuno  dei  due  numeri 
p  e  q  è  uguale  o  maggiore  di  n.  Ora  è  chiaro  che  un  tale  aggregato  non 
può  mai  essere  zero,  almenochè  non  lo  sia  nel  senso  che  i  varii  termini  si 
distruggano  addirittura  fra  loro;  non  lo  può  essere  cioè  nel  senso  che  per 
riconoscere  il  suo  annullarsi  si  debbano  sviluppare  le  espressioni  lineari  che 
contiene.  Ed  infatti  se  ciò  fosse  possibile,  lo  sarebbe  ancora  quando  pongo 
eguali  a  zero  tutte  le  .v,  p.  es.  con  un  indice  superiore  a  1.  Allora  ogni  forma 
lineare  ennaria  diventa  un  sol  termine,  e  la  cosa  è  evidente. 
«  Prendiamo  ora  p — 1  serie  di  coefficienti  ,  a^, . . .  a^-i  e  trasformia- 
moli in  serie  di  variabili  nel  seguente  modo  :  prendiamo  n  nuove  serie  di 
variabili  y2,  -  ■  •  Un  e  altre  n — {p — 1)  serie  di  coefficienti 
trasformiamo  le  a  nelle  y  in  modo  che  p.  es.  ,  «12  •  •  •  dm  si  pongano  propor- 
zionali ai  determinanti  minori  formati  colle  yt,  y^, . .  .yn,  e  così  di  seguito. 
Il  che  equivale  a  porre  le  relazioni 
«a  «i2  ?/i2  H  h  ttin  yjn  =  0 
per  tutti  i  valori  di  i,  j  da  1  ad  n  esclusi  i  valori  eguali. 
"  Dalle  quali  relazioni  posso  reciprocamente  con  formolo  perfettamente 
analoghe  a  quelle  con  cui  le  a  si  esprimono  per  le  y,  esprimere  le  y  per  le  a. 
