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«  Così  facendo,  è  chiaro  che  la  espressione  primitiva  data  si  viene  a 
riduiTe  in  un'alti-a  contenente  una  sola  serie  di  coeffcienti,  &  r  serie  di  va- 
riabili, dove  r  >  n  avendo  dimostrato  che  -f-  >  ?z  +  1  .  Prima  d'andare 
avanti  è  utile  osservare  a  questo  proposito  che  se  J3  —  \  '^n  ed  eguale  p.  es. 
ad  m  -T- 1  allora  per  ciascuno  dei  primi  s  gruppi  di  n  coefficienti  io  posso 
introdurre  n  nuove  variabili,  e  per  l'ultimo  gruppo  di  t  soli  coefficienti  posso 
introdurre  altre  ii  nuove  variabili  ;  per  modo  che  se  §'  =  0  ,  allora  essendo 
j)^n-^\  ,  si  avrà  r  almeno  eguale  a  2;?  e  quindi,  come  abbiamo  detto  'r^n. 
n  Altri  due  casi  son  da  considerarsi  ;  il  primo  è  quando  |>  =  1  ;  allora 
natui'almente  non  si  introduce  nessuna  nuova  serie  di  variabili,  e  le  con- 
siderazioni che  seguono  vi  si  adattano  perfettamente;  il  secondo  è  quando 
2)  =  0  ;  ma  per  la  perfetta  reciprocità  che  vi  è  fi-a  le  variabili  e  i  coefficienti, 
questo  caso  chiaramente  non  è  diverso  da  quello  in  cui  q  —  0  che  è  stato  già 
considerato. 
«  Ci  serviremo  ora  della  formola  di  Gordan  generalizzata  dal  prof.  Ca- 
pelli in  ima  recente  Memoria  (i). 
s  Ivi  si  dimostra  (-)  che  un'espressione  come  quella  a  cui  abbiamo  ridotta 
la  espressione  data,  può  esprimersi  con  funzione  razionale  ed  intera  di  cova- 
rianti identici  e  di  polari  di  espressioni  contenenti  n  serie  di  variabili,  o  anche, 
se  vogliamo,  n-hl  serie  di  variabili.  Le  polari  poi  son  fatte  fra  tutte  le  va- 
riabili che  sono  scomparse  e  solo  n  —  1  di  quelle  rimaste,  che  chiameremo 
s  Possiamo  dunque  fare  sparire  /'  —  (n  +  1)  variabili,  e  sappiamo  inoltre 
che  queste  funzioni  contenenti  un  minor  nmnero  di  serie  di  variabili  si  rica- 
vano dalla  primitiva  con  aggregati  di  operazioni  di  polari,  per  modo  che  se 
la  primitiva  è  zero,  anche  queste  funzioni  derivate  sono  zero.  Ma  in  queste, 
avendo  una  serie  di  coefficienti  e  n-hl  serie  di  variabili,  si  può  porre  in 
vista  un  fattore  del  tipo  (4)  e  che  sia  lo  stesso  per  tutte  queste  varie  espres- 
sioni derivate. 
«  Per  costituire  poi  l'espressione  primitiva  dobbiamo  effettuare  su  esse 
un  aggregato  di  operazioni  di  polari.  Serviamoci  di  un  teorema  di  Capelli  (3), 
che  dice  che  quest'assieme  di  operazioni  di  polari  può  sempre  supporsi  «composto 
di  polari  le  cui  variabili  nella  foiTnazione  delle  polari  sono  solamente  le  n — 1 
variabili  ^.  Allora  il  numero  di  tutte  le  possibili  polari  da  dovere  operare  è 
{r  —  n  —  l)  («  —  !)  =  « 
aumentato  del  numero  delle  polari  che  si  ottengono  combinando  le  n — 1  |  con 
loro  stesse. 
(1)  Capelli,  op.  cit. 
0  §  74,  pag.  58. 
(3)  §  7,  P,  pag.  9. 
Eendiconti.  1888,  Vol.  IV,  1»  Sem. 
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