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K  2.  Ciò  premesso  si  possono  dimostrare  facilmente  le  seguenti  propo- 
sizioni : 
"  P  Se  una  funzione  /  è  collegata  ad  F  essa  lo  sarà  a  tutte  le  fun- 
zioni (P  collegate  ad  F  nel  senso  riemanniano  (vedi  la  Nota  I). 
«  Infatti,  posto 
d0 
d¥. 
d{yz) 
avremo 
onde  : 
=  P 
d0 
d{xy) 
d{y:) 
■  US . 
d<P 
d{sx)     ^'  d{xy) 
w 
lìx  '  ^^y 
r 
«  2^  Le  condizioni  affinchè  più  funzioni  /"j ,  (?  =  1 ,2  . .  n)  siano  colle- 
gate ad  una  stessa  funzione  F  sono  date  da 
(2) 
2fs 
'  -^x 
~dx 
^y 
^y 
Dy 
1)^ 
d{x,y,s) 
(J  (/,r,s=l,: 
«  Infatti  dalle 
P 
~òx 
^y 
0    (?■==  1,2  . . .  «) 
risultano  come  conseguenza  le  (2). 
«  Se  mantenendo  fissi  i  ed  r  (supposto  fi  e  /V  indipendenti)  e  dando 
ad  s  tutti  i  valori  1 , 2 , . . .  esclusi  /  ed  r,  è  sempre  soddisfatta  la  (2)  essa 
sarà  soddisfatta  evidentemente  per  una  combinazione  qualunque  di  i ,  r ,  s. 
"  3.  Quando  si  avrà  un  sistema  di  funzioni  fi  che  soddisfano  alle  (2) 
si  dirà  che  esse  sono  collegate  fra  loro  nel  senso  riemanniano. 
«  Si  giustifica  facilmente  la  ragione  di  questa  denominazione,  osservando 
che  porre  la  condizione  (2)  equivale  a  stabilire  ciò  che  segue  : 
«  Si  prenda  un  punto  M  ove  le  tre  funzioni  hanno  i  valori  /i ,  ^ ,  /s  e 
due  punti  N  e  P  infinitamente  vicini  ad  esso  :  si  denotino  con  fi  -\-  J 'fi , 
4-^73,  A  +  ^Yr  i  valori  di  /;■,/;,/.  in  N  e  con /,4-^7i,/,  +  ^7,, 
fr-\-J"fr  i  loro  valori  in  P  e  si  ponga  la  condizione  che  i  rapporti  fra  i 
determinanti 
^'fi,  ^"fi 
J'fr, 
J"fr 
^'fs,  -^"fs 
1 
^'fr,  '^^"fr 
•> 
^'fi  , 
^"fi 
abbiano  dei  limiti  indipendenti  dal  modo  con  cui  i  punti  N  c  P  si  avvici- 
nano ad  M  indefinitamente. 
Rendico.mi.  1888,  Vol.  IV,  P  Sem. 
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