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n  4.  Abbiasi  un  sistema  qualunque  di  funzioni  collegate  fra  loro  nel 
senso  riemanniano  e  si  prenda  una  funzione  /'  collegata  ad  esse;  sia  cioè 
d{ys)  liX     d{sx)  ~òy     d{xy)  liS 
«  Si  potranno  trovare  delle  funzioni  (/;  tali  che 
dd^i  _d{f,(/i)       d(Pi  _d{f,cfi)       d<t>i  _dif,q,) 
d{ij3)      d{?j,s)  '     d{s,x)      d{s,x)  '     d{xìj)  d{x,y) 
a  Le  funzioni  (f  i  saranno  evidentemente  collegate  alle  cP^,  alla  /'  e  sa- 
ranno pure  collegate  fra  loro.  ^ 
«  Reciprocamente  se  si  lia  un  sistema  di  funzioni  (/i  collegate  fra  loro 
nel  senso  riemanniano,  posto 
d  {(JH ,  (T.s)  d((fi,(fs)   d  {(pi ,  (fs) 
avremo 
Dx       l>y  l'S 
«  Esisterà  dunque  una  funzione  complessa  (l>is  che  soddisfa  alle  condizioni 
d(Di,  d(t>is  da>i, 
d{y,s)       "  D{sx)  d{xy) 
"  Le       sono  fra  loro  collegate  nel  senso  riemanniano. 
"  Infatti  dalle  relazioni 
'H^nj^qj_^  ^       d {(fi ,  (fs , (ft)  _  Q 
d{x,y,2)         '  d{x,y,s) 
segue  che 
^is   Xis  __  Qis 
'^rt       Xrt  Qrt 
"  Inoltre  il  sistema  delle  <l>is  sarà  collegato  alle  (fi.  Quando  fra  d'i  e 
/'  e  (fi  passano  le  relazioni  (3)  si  dirà  che  <Pj  è  coniugata  alle  f  e  (fi  e  reci- 
procamente f  e  g^i  coniugate  a  (Pj.  In  questa  ipotesi  il  valore  di  (Pi  corri- 
spondente ad  una  linea  L  sarà  dato  da 
(4)  cp,|[L]HJ.r/,f// 
«  (V.  Sopra  le  fini:,  dip.  da  linee  Nota  II)  supponendo  che  L  faccia 
parte  di  una  porzione  dello  spazio  in  cui  /  e  (f  i  sono  monodrome. 
"  Si  consideri  una  superficie  e  ;  fissato  il  senso  positivo  della  normale  n 
sarà  determinato 
d(Vis 
—  TZis  cos  nx  -+-  Xis  cos  ny  -h  Qìs  cos  ns . 
«  Ora  se  si  prende  sopra  o"  un  sistema  di  coordinate  curvilinee  u  v ,  tali 
che  le  direzioni  >i, ,  v  ,  n  siano  disposte  come  le  x^  y-,  s  q  che  il  quadrato 
