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dell'elemento  lineare  della  superficie  sia  ds'^='E  du--\-2'F  dti  dv-\-G  dv^,  avremo 
~òq  i      l)<f  i 
d(D.:  1 
(5) 
lìV 
f  EG— 
1)U    '  liV 
B  5.  Ciò  premesso  si  può  passare  allo  studio  delle  operazioni  di  deriva- 
zione e  d'integi-azione.  Siano  P  e  3>  collegate  fra  loro  nel  senso  riemanniano. 
Posto  come  precedentemente 
dF  dF  dF  da»  _  dd^ 
d{sx) 
d{y~)  d{z,:^  d{ay)     ''  %.~)     ^'  d{sx)  '  d{w,j) 
e  preso  in  un  punto  un  elemento  qualunque  di  superficie  rfc,  avremo 
d^^ 
V 
da 
dd) 
«  Questo  rapporto  indipendente  da  da  lo  denoteremo  col  simbolo  e 
col  nome  di  derivata  di  rispetto  a d  P.  Essa  sarà  una  funzione  com- 
plessa dei  punti  dello  spazio.  Come  proprietà  fondamentale  può  dimostrarsi 
clie  la  derivata  di  (P  rispetto  ad  P  è  collegata  alle  due  fun- 
zioni Q  ed  F  nel  senso  riemanniano.  Infatti,  posto 
d(^ 
SI  avrà 
e  quindi 
1)W 
1):V 
dF 
211 
^1/ 
1)0 
 —  w  — 
P 
+  '1 
1)X 
B  6.  Sia  ora  /  coHegata  ad  P  e  e  una  superficie  aperta  o  chiusa  nello 
spazio  in  cui  sono  definite  le  due  funzioni;  fissata  la  direzione  della  nor- 
rfP 
male     a  e  è  definito        e  quindi  è  pm-e  definito 
c 
^^^^  1. 
che  rappresenteremo  col  simbolo 
/a/r/P. 
t  Col  cambiare  il  senso  della  normale  cambierà  il  segno  dell'integrale. 
Se  cr  non  è  chiusa,  fissiamone  la  direzione  dei  contorni  in  modo  che  un  osser- 
vatore disposto  nel  senso  positivo  di  uno  qualunque  di  essi  e  rivolto  verso 
la  superficie,  veda  la  direzione  positiva  della  normale  andare  dalla  sinistra 
