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accrescimenti  nel  senso  delle  linee  u  e  con  6  quelli  nel  senso  delle  linee  y, 
l'integrale  precedente  potrà  scriversi 
li  Supponiamo  o"  cMusa  e  che  limiti  da  sola  uno  spazio  S  nel  quale  nes- 
suna delle  fimzioni  abbia  singolarità,  in  tal  caso  l'integrale  (7)  sarà  nullo 
e  quindi 
ryy|f^'''?H=0 
che  è  un'altra  forma  sotto  cui  può  enunciarsi  il  teorema 
precedente  analogo  a  quello  di  Caucliy.  Così  pure  vale  anche  sotto 
questa  forma  il  teorema  reciproco,  cioè  l'analogo  del  teorema  di  Morera. 
■  8.  Si  tolgano,  mediante  delle  superficie  convenienti,  dal  campo  in  cui 
sono  definite  due  funzioni  /  e  F  (collegate  fra  loro)  tutti  quei  punti  e  quelle 
linee  in  cui  le  due  funzioni  presentano  delle  singolarità,  e  per  mezzo  di 
opportune  sesioni  lineari  si  renda  superficialmente  il  campo  rimanente  sem- 
plicemente connesso.  Ciò  fatto  ogni  siiperficie  chiusa  che  potrà  tracciarsi  sarà 
contomo  completo  di  uno  spazio  ove  le  due  funzioni  /  e  F  non  avranno 
singolarità. 
«  Si  prendano  due  linee  Lo  e  Li  aventi  ciascuna  una  data  direzione,  tali 
che  si  posso,  condurre  per  — -Lq  (^)  e  Li  una  superficie  g  (vedi  Sopra  le  fum. 
dip.  da  linee  J^ota  II).  Si  determini  il  senso  della  normale  a  o"  relativamente 
aUe  direzioni  di  — Lg  e  Li  nel  modo  indicato  nel  §  6.  Sarà  allora  deter- 
minato 
(9)  cfdY  . 
-  È  facile  dimostrare  che  il  valore  dell'integrale  precedente  non  dipen- 
derà dalla  superficie  condotta  a ,  ma  dipenderà  solo  dalle  linee  —  L,,  e  Lj . 
Infatti  condotta  per  le  due  linee  un'altra  superficie  Gì ,  avremo  che  l'insieme 
di  e  e  Ci  fomerà  una  superficie  chiusa,  quindi  per  le  ipotesi  fatte 
(fd¥  =  0 
donde  la  proprietà  enunciata.  Perciò  l'integrale  (9)  potrà  indicarsi  con 
rU 
(10)  cfdF. 
y  Lio 
"  Combiando  il  senso  della  normale  n  cambia  il  segno  dell'integrale  (10) 
(vedi  §  6)  per  conseguenza  si  avrà 
rLi  /"Lo 
(')  Con  — Lo  si  intende  la  linea  Lo  presa  in  direzione  opposta. 
