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K  Se  tenendo  fissa  la  cniTa  Lo  si  muta  la  Li ,  l'integrale  (10)  potrà  rite- 
nersi come  ima  funzione  dipendenle  dalla  linea  Li  e  quindi  potremo  porre 
<i  La  funzione      sarà  collegata  ad  F  nel  senso  riemanniano  e  avremo 
vale  a  dire  le  due  operazioni  di  integrazione  e  di  derivazione  si  elidono  scam- 
hievolmeute.  Analogamente  se  le  (f  i  (/  =  1  ,  2  , . .  m)  saranno  collegate  frarloro, 
otteremo 
e  W  1  [Li]  1  sarà  collegata  alle  f/;  nel  senso  riemanniano. 
u  Supponiamo  che  /  e  y  siano  coniugate  ad  P,  in  questo  caso  avremo 
B  9.  Le  equazioni  (2)  che  passano  fra  le  derivate  delle  fi ,  /,• ,  fs  provano 
che  queste  variabili  prese  tre  a  tre,  debbono  esser  legate  da  relazioni 
Reciprocamente  ogni  qualvolta  fra  le  tre  variabili  ,  /r  >  /s  passerà  una  rela- 
zione ,  ^ ,  s  {fi ,  /)■ ,  fs)  =  0,  ovvero  sarà  ft  =  (f  {fr ,  /s)  >  risulterà  soddisfatta 
la  (2)  e  perciò  le  tre  variabili  fi ,  fr-,  fs ,  saranno  collegate  fra  loro  nel  senso 
riemanniano. 
a  Ciò  prova  che  la  teoria  esposta  in  questa  Nota  e  nelle  due  precedenti 
è  strettamente  legata  allo  studio  delle  funzioni  di  due  variabili  complesse 
ed  ai  loro  integrali,  onde  credo  che  le  idee  brevemente  accennate  potranno 
mettere  in  evidenza  la  utilità  di  introdmTC  le  funzioni  dipendenti  da  linee 
nello  studio  delle  funzioni  di  due  varial)ili  complesse. 
"  Il  sig.  Poincaré  in  una  importantissima  Memoria  pubblicata  nel  vo- 
lume IX  degli  «  Acta  Mathematica»  ha  esteso  il  teorema  di  Cauchy  agli  inte- 
grali doppi:  il  teorema  enunciato  nel  §  7  coincide  colla  estensione  del  teo- 
rema di  Cauchy  data  dal  sig.  Poincaré.  Questo  teorema  è  stato  il  punto  di 
jìartenza  delle  mie  ricerche. 
«  Una  ulteriore  estensione  della  teoria  di  Riemann  alle  funzioni  di  un 
numero  qualunque  di  variabili  complesse  può  eseguirsi  senza  gravi  difficoltà 
pm'chè  le  considerazioni,  limitate  in  queste  Note  agli  spazi  a  tre  dimensioni, 
si  estendano  ad  uno  spazio  ad  n  dimensioni,  e  il  concetto  di  funzione  dipen- 
dente da  linee  si  generalizzi  alle  funzioni  dipendenti  da  iperspazi  immersi 
nello  spazio  ad  )i  dimensioni». 
f/P 
=  9 
^Hr-s{f  ,  fr  ,  /s)  =  0.. 
