—  203  — 
Matematica.  —  Sulla  dassìficagione  delle  forme  differenziali 
quadratiche.  Nota  del  prof.  Gregorio  Ricci,  presentata  dal  Socio  Dini. 
-  In  una  mia  Memoria  pubblicata  nel  tomo  XII  della  serie  2^  degli 
a  Annali  di  Matematiche  pure  ed  applicate  -  proposi  una  classificazione  fon- 
damentale nello  studio  delle  forme  differenziali  quadratiche.  Chiamai  cla&&e 
di  una  forma 
essenziabuente  positiva  nel  campo,  cui  si  estende  la  variabilità  delle  varia- 
bili X ,  quel  numero  minimo  ìi  intiero,  positivo  o  nullo,  per  cui  è  possibile 
dedurre  la  forma  stessa  dalla 
ponendo  in  questa  per  le  y  delle  opportune  funzioni  delle  x  .  Quella  Memoria 
contiene  una  nuova  dimostrazione  di  un  teorema  già  noto,  che  dà  i  criteri 
per  riconoscere  le  forme  di  classe  0  ,  nonché  il  teorema  analogo  per  le  forme 
di  1^  classe.  Mi  è  ora  riescito  di  trovare  un  teorema  generale,  che  serve  a 
riconoscere  la  classe  di  ogni  forma  differenziale  quadratica  essenzialmente  posi- 
tiva, e  questo  teorema  è  oggetto  della  communicazione  che  ho  l'onore  di  rivol- 
gere alla  Accademia. 
e  Per  comodità  indico  con  la  derivata  rispettò  ad  Xr  di  una  fun- 
zione /  di  Xx  Xi .  .Xn,  con  la  sua  derivata  seconda  rispetto  ad  Xr  e 
ad  Xs ,  etc.  Se  la  foma  9;^  può  dedursi  nel  modo  indicato  dalla  espressione 
di  ds^  deve  essere  possibile  determinare  le  y  in  funzione  delle  x  per  modo 
che  si  abbia 
Indico  con  ^ti{t  =1 ,2, , .  n -\- h,i  =  1  ,"2  . .  h)  un  sistema  di  soluzioni  linear- 
mente indipendenti  del  sistema  di  equazioni  algebriche 
n 
(p^  =  2rs  ars  dXr  dx. 
ds^  =  2t  dy] 
t  ' 
1) 
n-+h 
2tyTÌt  =  ^  (r=l,2,.y0 
legate  fra  loro  dalle  relazioni 
3) 
