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mentre  le  (7)  si  trasformano  nelle 
/5)  vT  =  i-s  Ors  ai, , .  yf'  +  L  7iu  ih> 
1  1 
«  Ciò  premesso  supponiamo  che  la  forma  differenziale  quadratica  essen- 
zialmente positiva  nel  campo,  a  cui  si  considera  estesa  la  variabilità  delle  ,v, 
sia  tale  che,  le  espressioni  aip,q  ed  ai;n,pr,  essendo  definite  dalle  equazioni  (a) 
e  (b),  sia  possibile  trovare  due  sistemi  di  funzioni  ,.?,-s.i ,  ^^y.r  =  li 2, .. 
r  =  l,2../?),  che  soddisfacciano  al  sistema  di  equazioni  (I)  (II)  (III).  Con- 
sideriamo il  sistema  di  equazioni  a  derivate  parziali,  che  risulta  delle  («) 
e  delle  (/if),  nelle  quali  le  funzioni  ijt  e  yuc  si  riguardano  come  incognite, 
le  Cti  rappresentano  un  sistema  qualunque  di  soluzioni  del  sistema  di  equa- 
zioni algebriche 
2t  U  vT  =  ^\^i  U  itj  =-e;  2t  Cu  U  =  0  j  =  1,  2,  ..  h-l) 
h 
y. /-Z  —  -1           V    ^  „(r)(S) 
■^i  S  ti —  — rs  t-rs  l/t  t 
1 
e  dalle  vi'ji^r  si  intendono  eliminate  le  derivate  seconde  delle  y  mediante 
le  (/?).  Se  si  tien  conto  delle  note  relazioni,  che  legano  fra  loro  i  coefficienti 
Yiu  di  una  sostituzione  ortogonale  o,  posto 
ìi(h-l)  , 
2 
si  immaginano  i  coefficienti  medesimi  espressi  per  N  funzioni  indipendenti 
Xy^  1^^ ..  per  guisa  che  quelle  relazioni  siano  identicamente  soddisfatte  e 
si  riguardano  come  incognite  le  funzioni  X  ed  y,  possiamo  immaginare  le  (a) 
risolute  rispetto  alle  X'-^\  come  le  (/i)  lo  sono  rispetto  alley/'^".  Così  il  sistema 
di  equazioni  (a)  e  (/3)  ci  dà  le  derivate  prime  delle  A  e  le  seconde  delle  y 
espresse  per  le  A  e  per  le  derivate  prime  delle  y.  Le  equazioni,  che  espri- 
mono le  condizioni  di  integrabilità  di  un  tale  sistema  per  le  (I)  (II)  e  (III) 
riescono  tutte  identicamente  soddisfatte,  qualora  per  le  derivate  seconde  delle  y 
e  prime  delle  X  si  introducano  i  valori  dati  dal  sistema  stesso  e  in  questo 
senso  dico  che  il  sistema  è  completo.  E  poi  noto  che  im  tale  sistema  di 
equazioni  a  derivate  parziali,  ammette  un  sistema  integrale  con  tante  costanti 
arbitrarie  quante  sono  complessivamente  le  derivate  prime  delle  y  &  \q  X, 
cioè  a  [n  -h  h)  +  ^-^-^-^ — ^,  e  che  tali  costanti  arbitrarie  possono  determinarsi 
in  modo  che  le  derivate  prime  delle  y  e  le  X  prendano  valori  arbitrari  per 
un  sistema  arbitrario  di  valori  delle  varial)ili  indipendenti  x-,  per  esempio 
per  Xi=X2  =  —  =  Xn  =  0.  Se  delle  costanti  stesse  si  dispone  in  modo 
che  per  questo  sistema  di  valori  delle  x  siano  verificate  le  (1),  si  deduce 
dalle  (/^)  che  le  (1)  seguiteranno  a  sussistere  in  ogni  intorno  del  punto  (0  0 . .  0) 
