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ponendo  in  evidenza  alcune  interessanti  proprietà  di  una  curva  di  10°  or- 
dine e  di  genere  11,  dalla  quale  la  trasformazione  è  completamente  deter- 
minata. 
«  Poi  esamino  i  casi  particolari  più  importanti  dovuti  allo  staccarsi  di 
una  superfìcie  fissa  dalle  superficie  che  nella  trasformazione  più  generale  cor- 
rispondono ai  piani  dello  spazio;  ed  ottengo  anche  in  questi  casi  proprietà 
notevoli  per  alcune  curve  e  superficie  gobbe. 
"  1.  Nello  studio  delle  trasformazioni  involuto  rie  dello  spazio  hanno,  in 
generale,  grande  importanza  le  superficie  K  generate  dalle  coppie  di  punti  co- 
niugati situate  in  piani  passanti  per  una  retta  r.  Esse  costituiscono  tm  si- 
stema 00    e  in  generale  ve  ne  sono  due  che  passano  per  quattro  punti  dati  ('). 
«  Ma  nel  caso  che  ci  proponiamo  di  esaminare,  che  cioè  i  punti  coniu- 
gati nella  trasformazione  fossero  su  raggi  di  un  complesso  lineare  i",  le  su- 
perficie K ,  K  '  dovute  a  due  rette  r ,  r  '  coniugate  nella  correlazione  polare 
nulla  (r)  dovuta  al  complesso  F,  coincidono  in  un'unica,  luogo  delle  coppie 
situate  sui  raggi  della  congruenza  lineare  (r  —  r'),  sicché  le  superficie  K  co- 
stituiscono un  sistema  lineare  I,  il  quale  risulta  proiettivo  al  sistema  delle 
congruenze  lineari  del  complesso  F. 
«  Ogni  superficie  K  passa  semplicemente  per  le  direttrici  della  congruenza 
a  cui  è  dovuta,  ed  ha  altri  due  punti  su  ciascun  raggio  di  tale  congruenza, 
sicché  risulta  di  4°  ordine. 
«  Essa  di  più  contiene  le  cm-ve  fondamentali  della  trasformazione,  ma 
non  i  raggi  fondamentali  di  essa,  che  sono  i  raggi  del  complesso  F  di  cui 
ciascuno  corrisponde  nella  trasformazione  ad  ogni  suo  punto. 
«  2.  Le  congruenze  lineari  di  un  fascio  (P  del  complesso  F  dànno  ori- 
gine a 'superficie  K  formanti  un  fascio  F,  la  cui  base  é  costituita  dalla  linea 
fondamentale  della  trasformazione  T  e  dalla  curva  luogo  delle  coppie  di  punti 
della  T  situate  sui  raggi  del  sistema  rigato  E  base  del  fascio  <P. 
«  Ora  quest'ultima  curva  con  le  direttrici  di  una  qualsiasi  congruenza 
del  fascio  forma  la  completa  sezione  della  supei-ficie  K4,  dovuta  a  tale  con- 
gruenza, con  l'iperboloide  I  sostegno  del  sistema  E,  sicché  essa  è  di  6°  or- 
dine e  di  genere  3,  e  quindi  la  linea  fondamentale  della  T  è  di  10"  ordine 
e,  se  non  si  spezza,  il  suo  genere  è  11  (-). 
"  Partendo  inversamente  da  una  curva  Ce  di  genere  8  situata  su  di  un 
iperboloide  I,  due  qualsiansi  superficie  K ,  Ki  di  4°  ordine  passanti  per  essa 
determinano  un  fascio  F  (che  ha  per  base  la  Co  e  una  Ciò  di  genere  11  con 
20  punti  sulla  Ce),  le  cui  superficie  K  ,  Ki , ...  Kr  segano  ulterionnente  la  qua- 
drica  I  secondo  coppie  di  generatrici  kk' ,  ki  k'i, . . .  krk'r ,  che  appartengono 
(1)  V.  De  Paolis,  Le  trasformazioni  do])pie  dello  spazio.  Memorie  dell'Accademia 
dei  Lincei.  Serie  2»,  voi.  I,  §  39  e  40. 
(2)  Vedi  Salmon-Fiedler,  Analytische  Geometrie  des  Raumes.  Il  Theil.,  3'"  Auflage, 
p.  132. 
