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al  sistema  delle  quatrisecanti  della  Ce  e  costituiscono  su  tale  sistema  un'in- 
voluzione ordinaria,  sicché  le  congruenze  lineari  {k  —  k'),{ki  —  //i) , . . . 
(Av  —  //,-),  di  cui  esse  sono  dii^ettrici,  appartengono  ad  un  complesso  lineare 
r  e  vi  formano  un  fascio  <2>  proiettivo  al  fascio  F. 
t  Se  ora  su  ciascuna  superficie  K^  —  krk'r  del  fascio  F  si  considerano 
le  coppie  di  punti  in  cui  i  raggi  della  corrispondente  congruenza  (Av  —  k\)  di  <t> 
segano  (oltre  che  sulle  kr ,  k'r)  la  superficie,  l'assieme  di  tali  coppie  col  va- 
riare della  K,-  individua  nello  spazio  una  trasformazione  involutoria  T  della 
specie  cercata,  in  cui  cioè  le  coppie  di  punti  coniugati  sono  su  i  raggi  del 
complesso  r,  ima  in  generale  su  ogni  raggio. 
«  Si  è  dunque  costruita  la  T. 
"  Evidentemente  in  essa  è  linea  fondamentale  la  curva  Cu,  che  con 
la  Cs  forma  la  base  del  fascio  generatore  F.  Invece  i  punti  della  Ce  risul- 
tano a  due  a  due  coniugati  nella  T.  Due  punti  coniugati  sono  su  una  gene- 
ratrice dell'iperboloide  I  del  sistema  delle  bisecanti  della  Cg. 
3.  Per  determinare  l'ordine  di  moltiplicità  della  linea  fondamentale  Ciò 
e  il  grado  della  trasformazione  T  si  noti  che  i  due  fasci  generatori  F  ,  (P 
determinano  in  un  qualsiasi  piano  «  due  fasci  proiettivi,  l'uno  di  raggi: 
a  ,  fiti . .  .  cir  del  complesso  r,  situati  nelle  congruenze  del  fascio  (P  ,  l'altro 
di  curve  del  4°  ordine  :  z  >  Zi  »  •  •  •  Zr ,  sezioni  con  le  superfìcie  del  fascio  F  ;  e  la 
cm'va  Cs  generata  da  questi  due  fasci  si  spezza  nella  conica  («  I)  ed  in  una 
curva  di  3°  ordine  che  passa  per  il  centro  A  del  iascio  di  raggi  e  per  i 
punti  («  Ciò),  la  quale  risulta  luogo  delle  coppie  di  punti  della  T  giacenti 
nel  piano  «  (0  allineati  col  punto  A). 
«  Ora  se  il  punto  A  è  un  punto  della  Ciò,  gli  00'  punti  che  gli  cor- 
rispondono nella  T  sono  sulla  corrispondente  linea  (la  quale  allora  viene 
ad  avere  im  punto  doppio  in  A)  sicché  la  curva  Ciò  è  linea  fondamentale 
tripla  per  la  trasformazione  T. 
«  E  dalla  costruzione  data  della  T  segue  anche  che  le  ulteriori  sue  linee 
fondamentali  non  possono  essere  che  raggi  del  complesso  F,  di  cui  ciascuno 
ha  da  corrispondere  ad  ogni  suo  punto.  A  questi  raggi  le  cm've  J-ì  non  si 
appoggiano  in  generale;  d'altra  parte  esse  cm've  sono  coniugate  a  sè  stesse 
nella  T,  sicché  ogni  superficie  ^  che  corrisponda  nella  trasformazione  ad  un 
piano  dello  spazio,  ha  in  comune  con  ciascuna  linea  J  tre  punti  non  fonda- 
mentali e  dieci  fondamentali  che  contano  per  30,  e  quindi  l'ordine  delle  ^ 
é  11,  e  i  raggi  fondamentali  della  trasformazione  sono  20;  cioè  le  <P  sono 
delle  <I>iiEiiE Clonai . . .  «jo- 
«  Questi  raggi  a^, . . .  «20  sono  quatrisecanti  della  Ciò- 
t  4.  Dal  ragionamento  fatto  per  costruire  la  trasformazione  T  si  può 
anche  dedurre  che: 
a  Una  linea  Ciò  (degenere  0  no)  tale  che  per  essa  passi  un 
fascio  F  di  superficie  di  quart'ordine  di  cui  la  ulteriore 
