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linea  base  sia  una  Co  di  genere  3  non  generale,  ma  si- 
tuata su  di  un  iperboloide  (')  che  non  contenga  alcuna 
parte  della  Ci„,  risulta  linea  base  di  un  sistema  li- 
neare <x>*,2,  di  superficie  di  4°  ordine  siffatto  che  le 
00^  superficie  del  sistema  che  passano  per  un  punto  P, 
hanno  in  comune  un  secondo  punto  P'  coniugato  al  pre- 
cedente in  una  trasformazione  T  della  specie  che  stu- 
diasi (completamente  determinata  dalla  Ciò),  nella  quale 
il  sistema  delle  superficie  K(§1)  coincide  col  sistema  X 
"Se  la  Ciò  non  si  spezza,  il  suo  genere  è  11,  ma  essa  non  è  la  eurva 
pili  generale  di  tale  ordine  e  genere,  perchè  come  conseguenza  del  teorema 
precedente  si  ha  che: 
"Nel  sistema  oo^  delle  superficie  di  4°  ordine  passanti  per 
una  curva  data  Ciò  di  genere  11  (^)  le  curve  Co  di  genere  3 
che  con  la  Ciò  formano  le  basi  dei  fasci  del  sistema,  sono 
tutte  della  stessa  natura,  o  tutte  cioè  non  hanno  quatri- 
secanti  (e  questo  è  il  caso  più  generale),otuttele  hanno. 
Solo  in  quest'ultimo  caso  la  data  Ciò  è  linea  base  di  una 
traformazione  T. 
"  Come  proprietà  caratteristica  che  distingue  tale  curva  Ciò  dalla  più 
generale  dello  stesso  ordine  e  genere,  si  può  assumere  anche  questa  che  : 
ogni  piano  dello  spazio  sega  la  Ciò  in  10  punti  situati  sunna 
curva  di  3°  ordine. 
"  Ammesso  infatti  che  esista  una  tale  curva  J3  di  genere  1,  si  deduce 
che  vi  è  una  rete  di  superfìcie  K4  =  Cio^3  e  che  un  qualsiasi  fascio  F  di 
essa  ha  per  ulteriore  linea  base  una  linea  J  di  3"  ordine  e  di  genere  1, 
che  ha  10  punti  sulla  Ciò  e  due  sulla  J,  sicché  le  superficie  del  fascio  P 
segano  i  piani  delle  J ,  J'  secondo  due  fasci  di  rette,  che  vengono  riferiti 
proiettivamente  ed  in  modo  che  la  retta  comune  ai  due  fasci  corrisponde  a 
sè  stessa,  sicché  le  congruenze  lineari  che  hanno  per  direttrici  le  coppie  di 
rette  corrispondenti  in  tale  proiettività,  appartengono  ad  un  complesso  lineare 
r  e  vi  formano  un  fascio  CP  che  viene  a  corrispondere  proiettivamente  al 
fascio  F  in  modo  da  poter  generare  una  trasformazione  T  di  cui  la  Ciò  è 
linea  fondamentale.  Ed  ogni  altro  piano  «  segherà  la  curva  Ciò  in  punti 
situati  sulla  cubica  J3 ,  luogo  dei  punti  coniugati  nella  T  giacenti  in  a  (§  3). 
"  5.  La  superficie  Kt  della  T  dovuta  alla  congruenza  lineare  (r  —  /•') 
(')  Halijhen,  Sur  la  classification  des  couròes  gauclies  algéòriques.  Journal  de  TEcole 
polytechnique.  Cali.  52,  cap.  VI,  1. 
(2)  Che  il  sistema  sia  co  ■'  si  deduce  dal  teorema  del  n.  20,  cap.  I,  della  Memoria  citata 
dall'Halphen.  Anche  in  seguito  nella  determinazione  della  specie  dei  vari  sistemi  di  su- 
perficie che  si  considereranno,  ci  serviremo  sempre  di  tale  teorema  senza  citarlo  ulterior- 
mente. 
