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contiene  nei  piani  per  r  o  per  r  '  le  curve  J  dovute  ai  fasci  (A  —  a)  della 
congruenza.  Ora  se  le  r ,  r  '  coincidono  in  un  raggio  r  del  complesso  r, 
tutte  le  curve  J  situate  nei  piani  per  r  passano  per  i  due  punti  coniugati 
nella  T,  situati  su  r,  sicché  questi  punti  risultano  doppi  per  la  corrispon- 
dente superfìcie  K. 
Inversamente  si  ha  che  :  Nel  sistema  delle  superficie  K  della  trasforma- 
zione T  la  superfìcie  che  ha  im  punto  doppio  in  un  punto  arbitrario  P,  ne  ha 
un  secondo  nel  pimto  P'  coniugato  a  P  nella  T,  ed  è  quella  dovuta  alla  retta  PF. 
«  Si  noti  ancora  che  la  superficie  K  della  T  dovuta  ad  uno  dei  suoi 
raggi  fondamentali  cii  . . .  «20  ha  per  retta  doppia  tale  raggio  «,  giacché  la 
linea  J  dovuta  ad  ogni  piano  per  a  si  spezza  nella  a  ed  in  una  conica. 
6.  Nella  T  la  superficie  Jacobiana  delle  <t>n  è  ima  l4o  =  Cio^n«i  •  •  •  «20)*; 
la  superficie  punteggiata  unita  é  ima  .Q8  =  Cio^  «1 . . .  «20  (');  s  congruenza 
delle  congiungenti  punti  coniugati  inf.*^  vicini  é  di  4°  grado. 
La  curva  Cu  che  nella  T  comsponde  ad  ima  retta  arbitraria  r  ha 
su  questa  8  punti  (i  punti  r/^g)  e  ne  ha  10  sulla  retta  r'  coniugata  alla  r 
rispetto  al  complesso  r,  perchè  un  piano  n  passante  per  r'  sega  la  Cu,  fuori 
della  /,  solamente  nel  punto  che  nella  T  è  coniugato  al  punto  nr. 
«  Ogni  congruenza  Q^m  del  complesso  r  determina  una  superficie  unita 
nella  T,  luogo  delle  coppie  di  punti  coniugati  situate  sui  raggi  della  con- 
gruenza. Tale  superficie  passa  m  volte  per  la  Ciò  ed  ha  in  comune  con  ogni 
linea  J  olire  gli  m  punti  di  appoggio  con  la  Ciò  altri  2?«  punti  situati  sui 
raggi  della  congruenza  appartenenti  al  fascio  a  cui  è  dovuta  la  onde  l'ordine 
della  superficie  é  4m. 
t  Inversamente  le  congiungenti  i  punti  di  una  superficie  Ffc  =  Cio''  ai 
punti  coniugati  (che  sono  su  di  una  F'iifc_4oft  =  Cio^''~"'')  costituiscono  una 
congruenza  del  complesso  C  di  grado  3/i' — 10/i  (-). 
Si  è  con  ciò  al  caso  di  costruire  e  studiare  tutte  le  trasformazioni 
doppie  dello  spazio  che  hanno  per  involuzione  congiunta  la  T  nel  senso  in- 
dicato da  De  Paolis.  Basta  assumere  come  spazio  doppio  uno  spazio  ordinario 
su  i  punti  del  quale  si  sia  rappresentato  razionalmente  il  complesso  F  con 
i  metodi  indicati  da  Cremona  (^). 
«  Si  noti  infine  che  la  trasformazione  T  che  si  studia,  può  supporsi 
anche  generata  mediante  il  complesso  lineare  F  e  un  connesso  conico  Xi_2 
di  1°  grado  e  di  2°  ordine  (■*),  in  modo  che  due  punti  coniugati  nella  T 
(1)  V.  De  Paolis,  Mem.  e  §  cit. 
('-)  Ne  segue  che  non  vi  è  alcuna  Fs^C'io-  Veggasi  la  classificazione  dell'Halplien. 
Meni,  cit,  cap.  VI,  n.  7. 
(^)  Sulla  corrispondenza  fra  la  teoria  dei  sistemi  di  rette  e  la  teoria  delle  super- 
ficie. Atti  della  E.  Accademia  dei  Lincei.  Serie  2^,  tomo  IH,  §  3,  in  nota. 
(^)  V.  Masoni,  Su  i  connessi  conici  ecc.  Eendiconti  della  E.  Accademia  di  Napoli, 
fase.  4^  1883. 
